Log in

Обрії науки

Обрії науки Обрії науки

Упродовж декількох років в Українському Католицькому Університеті працює міждисциплінарний науковий семінар з такою назвою. Нещодавно вибрані статті учасників семінару опубліковано в однойменній книзі (обкладинка: http://194.44.208.227/~hol/PDF_Horizons/BOOK/obriyi%20nauky%20cover.pdf).

Одну з статей - "Математика і соціум" (http://194.44.208.227/~hol/PDF_Horizons/BOOK/matematyka%2077-87.pdf) - написав декан механіко-математичного факультету Михайло Зарічний. 

 

МАТЕМАТИКА І СОЦІУМ


Михайло Зарічний
Львівський національний університет імені Івана Франка 


ВСТУП

Без перебільшення можна сказати, що систематизація відомих попереднім цивілізаціям розрізнених геометричних та арифметичних фактів, аксіоматизація і побудова дедуктивної теорії, що її здійснили греки понад два тисячоліття тому, започаткувала нову добу в історії людства. Греки спочатку застосовували математику лише до астрономії і тієї частини механіки, яку тепер називають статикою. Виникнення числення нескінченно малих у XVI і XVII столітті значно розширило сферу застосувань математики; її почали використовувати також і до опису динамічних явищ. Небачений розквіт фізики став можливим лише завдяки належно розвиненій математиці. Своєю чергою фізичні задачі часто вимагали створення нового математичного апарату. Таку взаємодію математики і фізики спостерігаємо досі.

У ХХ столітті математику застосували до біології (більш загально, у науках про життя). Можна стверджувати, що багато в чому завдяки математиці сучасна біологія перетворилася з дескриптивної науки на науку з розвиненою теоретичною базою.

Математичне моделювання вже давно проникло у ті сфери, де раніше воно здавалося апріорно неможливим. До таких належить, зокрема, психологія, соціологія, політологія, лінгвістика, економіка й інші науки про людину та соціум.

Хтозна, чи передові досягнення математичної науки перебувають у полі зацікавлень хоча б якоїсь більш-менш чисельної частини суспільства. Гіпотеза, що складність життя, з надміром всеможливої різнорідної інформації, будитиме зацікавлення до математики як до науки, що відіграє об’єднувальну роль для інших, принаймні стислих і природничих, наук, виявилася хибною. На шпальти газет та екрани телевізорів теми, пов’язані з математикою, потрапляють надто рідко. Нещодавно розв’язок гіпотези Пуанкаре все ж привернув увагу громадськості, проте, здається, людям просто стало цікаво, за що ж пропонують мільйон доларів, а ще цікаво, чи візьме математик, який розв’язав цю гіпотезу (Григорій Перельман), пропонований мільйон, чи ні…

А ще про математику згадали в часи фінансової кризи, поклавши чималу частку відповідальності за неї на математичні моделі.

Зауважмо, що сучасна математика стала досить таки масовою професією. Її розвивають у всьому світі сотні тисяч людей.

Мета цієї невеликої статті – дати читачеві уявлення про взаємозв’язки між математикою і соціумом на прикладах математичних моделей у науках, що описують ті чи ті аспекти діяльності суспільства. Багатство і складність математичного інструментарію, задіяного у процес математизації, дає змогу зупинитися – і то не надто докладно – лише на окремих прикладах.

Математика, можливо, більше, ніж яка інша наука, є незбагненним соціальним феноменом: її творять індивідуальності, проте розвиток математики в історичній шкалі нагадує діяльність єдиного могутнього інтелекту, якому під силу приймати складні виклики, що їх приносить дослідження навколишнього матеріального світу та людського суспільства. Це наголошує на важливості «соціальної компоненти» в математичній науці, а також, безперечно, стосується теми, сформульованої у заголовку – «математика і соціум». Взагалі, якщо зважати на всі можливі сюжети, куди можна тему розвивати, то треба зізнатися, що у цій невеликій публікації ми від сили здатні заторкнути лише сполучник «і» в заголовку, а може, лише крапку над цим «і».

 

МАТЕМАТИКА ЧИСТА І ПРИКЛАДНА

Суспільство платить вченим за їхню працю і має право знати, за що ж воно платить. Ні в кого нема сумніву, що існування теперішньої цивілізації без математичних досягнень неможливе. Однак математику умовно поділяють на чисту та прикладну, і однією зі спокус для суспільства є розвивання, з метою економії коштів, насамперед прикладної математики – ця частина математики, на перший погляд, значно важливіша.

Із критикою переорієнтації математики на прикладні дослідження нещодавно виступав один із найбільших математиків сучасності Володимир Арнольд. Він зазначив, що поділ науки на чисту і прикладну є насправді умовністю – відмінність між чистим і прикладним математиком полягає лише у тих задачах, які математик розв’язує. Услід за Луї Пастером учений стверджував: нема ніяких прикладних наук, а є лише науки і їх застосування. До того ж, на науки суспільство витрачає не так уже й багато коштів. Особливо це стосується математики: хтось із математиків підрахував, що річні витрати Радянського Союзу на математику становили лише невелику частину вартості одного танка.

Драматична ситуація склалася тепер і в Україні, де одним із наслідків надмірної бюрократизації освіти й неодмінної плутанини є те, що прикладну математику винесли за межі фізико-математичних наук – вона входить до системних наук та інформатики. Бакалаври математики позбавлені змоги вступати на магістерські програми з прикладної математики. Різке контрастування зі світовими тенденціями, звичайно, приведе до того, що цю останню норму таки скасують, однак, окремі від математичних, факультети прикладної математики все ж є реальністю наших університетів.

І тут виникає також запитання: а якої математики треба навчати? Побутує думка, що у школі не потрібно доводити теореми, адже вони не знадобляться людині більше у житті (мова не йде, звичайно, про тих, хто стане професійними математиками). Звідси й заклики вчити дітей одразу того, що вони зможуть використати у своїй майбутній діяльності. У різних державах ці освітні ідеї тією чи тією мірою втілені в освітню політику. Тут знову процитуємо В. Арнольда, який стверджує, що «свідоме, творче у кожній діяльності настільки близьке до доведення теорем, що нема кращого способу виховати його, ніж розв’язуванням математичних задач, і доведенням теорем також». Учнів треба навчати аналізувати проблеми, приймати рішення, робити якісні передбачення у тому, чим вони займаються. Питання змісту математичної освіти тісно пов’язані з економічною могутністю і навіть обороноздатністю країн, і тому вони є предметом серйозного розгляду не лише вчених, а й політичних діячів.

Якщо людство перестане вивчати математику в належному обсязі, то наслідки цього стануть драматичними, зокрема, значно зросте ймовірність великих техногенних катастроф. Однак математики не донесли цієї тези до всіх на тому рівні серйозності, на якому, наприклад, комп’ютерники залякали нас «проблемою 2000 року». 

 

МАТЕМАТИЧНА ЕКОНОМІКА

Одне з найважливіших зіткнень математики із соціумом відбувається через економічну науку. Двадцяте століття стало розквітом математичної економіки. Запроваджену 1968 року Нобелівську премію з економіки дедалі частіше одержують вчені, які працюють саме в математичній економіці. Кількість економічних статей, де не використовують геометричних об’єктів чи алгебраїчних позначень, за сто років зменшилась у кільканадцять разів і сьогодні становить приблизно п’ять відсотків усіх публікацій.

Така ситуація в економіці стала предметом методологічного аналізу з боку відомих філософів науки. Зокрема математичну економіку звинувачували в надмірній відірваності від життя, тавтологічності. Вона нібито перестала покладатися на економічні аргументи, а лише на формальні математичні доведення і спростування гіпотез. Критики, серед яких, зокрема, Дж. Кейнс, стверджували, що значна частина математичної економіки – це вигадки, настільки ж неточні, наскільки неточні початкові припущення математичних теорій.

Захисники ж математичної економіки, серед яких всесвітньо відомий вчений Пол Самюельсон, вважають, що математичний апарат незамінний для описання фундаментальних проблем. Говорячи про мікроекономіку, П. Самюельсон наголошував, що небагато людей здатні зрозуміти деякі її тонкі моменти без математики, натомість мова математики відчиняє двері для розуміння багатьом людям.

Серед математиків, які одержали Нобелівську премію з економіки, був і відомий математик – академік Леонід Канторович. Варто тут згадати, що свого часу економісти вигнали Л. Канторовича з Ленінградського університету, оскільки він цитував Вільфрідо Парето – останнього задовго по його смерті горезвісний Муссоліні оголосив найвидатнішим італійським математиком.

Важливі застосування одержали математичні методи в теорії ринкової рівноваги. Обмежмося економікою обміну, оскільки вже на її прикладі можна зрозуміти, як тут працює математика. Учасники економіки приходять на ринок зі своїми товарами, які вони можуть продати за ціною, що на цьому ринку встановилася, а натомість купити за виторговані гроші інші, корисніші для них товари. Ціна називається рівноважною, якщо при такій ціні попит дорівнює пропозиції. Одним з основних досягнень теорії ринкової рівноваги є теорема існування: ринкова ціна існує! Ця теорема рівноваги – математичне обґрунтування тези про «невидиму руку ринку» Адама Сміта.

Математичним інструментом доведення є теореми про нерухому точку. У двовимірному випадку теорема про нерухому точку стверджує, що для довільного неперервного перетворення квадрата на себе існує точка у квадраті, що не змінює свого положення при цьому перетворенні (нерухома точка). Вперше таку теорему довів голландський математик Лейтзен Еґберт Ян Брауер приблизно сто років тому. Для потреб математичної економіки теорему про нерухому точку довелося дещо модифікувати й довести її для випадку багатозначних відображень. Це зробив на замовлення економістів Сідзуо Какутані.

Варто завважити одну особливість одержаного результату: він дає лише факт існування нерухомої точки і – як наслідок – ціни рівноваги. Але він не дає жодних рецептів, як цю точку/ціну знайти. Теорему існування критикують прикладні математики: «У лісі є гриб, у річці є риба – але як того гриба знайти, а ту рибу спіймати?». Однак не можна заперечити того, що якщо у якійсь математичній моделі не вдається довести теореми існування, то стосовно цієї моделі негайно виникає запитання про її адекватність до ситуації, яку вона описує.

Допитливий читач може тут сформулювати природне запитання: Як факт існування нерухомої точки стосується неперервних перетворень квадрата до існування ціни рівноваги? Чи абстрактні механізми, які відповідають за існування нерухомої точки перетворень, ті ж самі, що дають змогу встановити ринкову рівноважну ціну? Такі запитання досить часто виникають, коли говоримо про ефективність математичних методів. Очевидно, на них не існує простої відповіді: те, що уявний світ, створений абстрактними міркуваннями вченого-математика, адекватно описує світ реальний, є однією із найбільших загадок філософії науки.

Довівши теорему існування ціни ринкової рівноваги, дослідники спрямували свої зусилля на ефективні пошуки такої ціни і методів її запровадження. Тут застосовувалися комбінаторні методи, а також методи глобального аналізу (аналізу на многовидах).

Значущими є також філософські висновки, на які наводить теорія економічної рівноваги. Існування рів82 83 новаги свідчить, що система егоїстично мотивованих індивідуумів з раціональною поведінкою еволюціонує не до безладу, а до рівноважного положення. Об’єктом дослідження вчених є тепер єдиність положення рівноваги (або скінченність числа таких положень), його гіпотетична неперервна залежність від початкових умов, а також стабільність (останнє означає, що малі коливання системи не можуть вивести її з положення рівноваги).

Деякі економісти, які працюють у теорії ринкової рівноваги, порівнюють ситуацію в економіці з ситуацією в теоретичній фізиці, у якій існують природні обмеження на можливість ставити експерименти і щораз більша роль відводиться математичним міркуванням. Це може служити аргументом на користь теорії рівноваги і високої активності математичних економістів, які працюють у цій тематиці.

 

ТЕОРІЯ ІГОР

Звернімось до теорії ігор – науки, що однаково близька і до математики, і до економіки. Теорія ігор вивчає боротьбу індивідуумів за досягнення своїх інтересів. Крім економіки, методи теорії ігор застосовують у соціології, психології і, як ми побачимо далі, політології.

У теорії ігор теж існує поняття рівноваги. Його запровадив американський математик й економіст Джон Неш. За свої дослідження в теорії ігор Неш був удостоєний Нобелівської премії з економіки. Непросту історію життя цього видатного математика й економіста описує художній фільм «Ігри розуму».

Вибір стратегій учасниками гри називається рівновагою Неша, якщо жоден з учасників не може збільшити свою виплату, односторонньо змінивши у цьому виборі свою стратегію. Хоча нескладні приклади свідчать, що рівновага Неша не завжди оптимальна для її гравців, все ж досягнення рівноваги знижує гостроту конфлікту й тому може мати широкі застосування у реальному житті. Зазначмо, що фахівці з теорії ігор консультували політиків, котрі виробляли стратегію ядерного стримування.

Один із важливих результатів теорії ігор – це теорема про існування рівноваги Неша у змішаних стратегіях. Доведення існування рівноваги Неша у змішаних стратегіях, знову ж таки, опирається на версію теореми про нерухому точку.

Рівновага Неша дає змогу пояснити низку соціальних феноменів. Особливо це стосується ігор з великою кількістю учасників. Насправді, той факт, що багато в чому ми орієнтуємося у своїй поведінці на інших людей, досить часто пояснюється саме тим, що соціальна поведінка реалізує стан рівноваги. Перехід від одного стану рівноваги до іншого, отже, не може відбуватися на індивідуальній основі, а вимагає одночасного переходу значної частини суспільства.

 

ПОЛІТОЛОГІЯ

Історію застосувань математики в політології можна вести від кінця XVIII століття, коли зароджувалася репрезентативна демократія, і члени французької академії Жан-Шарль де Борда та маркіз де Кондорсе запропонували математично обґрунтовані методи демократичних способів обрання кандидатів. Далі ми зупинимося на деяких проблемах, що стосуються теорії голосування та теорії соціального вибору.

У ситуації, коли кожен член суспільства вибирає із двох кандидатів, нема жодних проблем. Виборці голосують: хтось вище оцінює першого кандидата, а хтось другого. Котрий із кандидатів набере більше, той і переможець (якщо соціум достатньо великий, то ймовірність, що два кандидати будуть оцінені однаково, така мала, що нею можна знехтувати).

Що ж відбувається, коли кандидатів більше? Вже тоді був відкритий знаменитий “парадокс Кондорсе”. Нехай маємо трьох кандидатів, a, b і c, і преференції суспільства, що виявилось розділене на три приблизно однакові за чисельністю групи, стосовно цих кандидатів, зібрані в таблицю, виглядають так:

a c b
b a c
c b a

(кожен стовпчик репрезентує якусь групу; якщо у стовпчику кандидат x вище, ніж кандидат y, то вважається, що x кращий, ніж y для всієї відповідної групи).

Хто ж повинен стати переможцем цих виборів? Аналіз свідчить, що ним не може бути кандидат a, оскільки дві треті суспільства (другий і третій стовпчики) ставлять c вище, ніж a. Аналогічні міркування показують, що кандидатів b і c також не можна вважати переможцями.

Парадокс Кондорсе неодноразово перевідкривався (одним із тих, хто писав про нього, був математик Чарльз Доджсон, більше відомий як письменник під псевдонімом Льюїс Керол) і в середині ХХ століття став предметом інтенсивних досліджень. Мабуть, найвідомішим досягненням у цьому напрямі є результат, що значно узагальнює ситуацію, модельовану парадоксом Кондорсе, а саме, теорема Ероу про неможливість. Вона стверджує, що в ситуації, коли кандидатів три або більше, провести демократичний вибір неможливо. Насправді Ероу доводить, що тоді соціальний вибір – це вибір одного члена суспільства (диктатора). Цей результат зумовив активну реакцію в академічних колах і був чи не основною причиною присудження Кенетові Ероу Нобелівської премії з економіки (принагідно зауважмо, що Ероу – один із творців згаданої вище теорії ринкової рівноваги). Теорему Ероу іноді порівнюють із теоремою Ґеделя про неповноту. До того ж, деякі аргументи, що лягли в основу її доведення (доступного для розуміння, до речі, навіть старшокласникові), містяться у ранніх працях Ґеделя.

Коли ж можливий вибір? Один із важливих випадків одержуємо тоді, коли всі учасники процесу, кандидати і виборці, розміщені на одновимірній шкалі (коли йдеться про політику, то прикладом може служити шкала «лівий-правий»). Кожен із виборців голосує за того з кандидатів, котрий ближче до його позиції на шкалі. У цьому випадку нескладно показати, що при голосуванні не виникає чогось схожого на парадокс Кондорсе. При попарному змаганні кандидатів вони в результаті вишикуються так, як їх упорядкував «середній » виборець. Порівнюючи це зі згаданою вище теоремою Ероу, видно математичне обґрунтування «диктатури середини», яку художньо осмислив Вільям Тен у своєму оповіданні «Нульовий потенціал».

У часи відкриття парадоксу Кондорсе вчені звернули увагу на так зване явище маніпульовності. Воно полягає в тому, що коли кандидатів троє, або більше, і відома система виборів, то ця система маніпульовна в тому сенсі, що деякі виборці можуть одержати для себе перевагу, подавши неправильну інформацію про своє рангування кандидатів. Один із відносно недавніх результатів – теорема Ґіббарда-Сатертвейта – чимось схожа на теорему Ероу: вона стверджує, що якщо кандидатів не менше трьох, то єдиною неманіпульовною системою виборів є диктаторська система.

Звичайно, і теорему Ероу, і теорему Ґіббарда-Сатертвейта не можна трактувати як заперечення демократії у реальному житті. Їхній зміст у тому, що демократія не може зводитися лише до математичних маніпуляцій, а передбачає діалог і пошуки взаєморозуміння між різними частинами суспільства. Деякі автори стверджують, що в теоремі Ероу раціональність протиставляється справедливості, і апелюють до того, що людська поведінка не завжди передбачувана й раціональна.

 

МАТЕМАТИКА І МИСТЕЦТВО

Математичні мотиви є в мистецтві ще з давніх часів. На золотий переріз можна натрапити у пропорціях Парфенону, Платонових тілах та «Елементах» Евкліда. І відтоді його широко використовують в архітектурі, дизайні, живописі, музиці та літературі. Піфагорійці досліджували математичні основи гармонії у музиці. Добре темперований клавір, що прийшов на заміну Піфагорійському строєві, опирався на рівномірний поділ музичної шкали. Сучасна музична теорія тісно пов’язана з теорією множин та абстрактною алгеброю (теорією груп).

Комбінаторна література або література формальних обмежень виникла зі спроб застосувати комбінаторні методи (перестановки, комбінації, інверсії, виділення, повторення тощо) до творення художніх текстів. Чи не найвідомішими представниками комбінаторної літератури є французька група УЛІПО (абревіатура від французької назви «Майстерня потенційної літератури»), що намагалися вивести свою творчість у магістраль літературного процесу. Сучасна комбінаторна література розвивається у різних напрямах. Зокрема цікавими є експерименти з так званими паліндромами, тобто текстами, що читаються однаково справа наліво і зліва направо. Таким способом можна писати навіть достатньо довгі твори. Український поет Іван Лучук написав рекордний (для української мови) паліндромний твір «Епос і нині сопе». Довжина цього твору – 3 333 знаки – паліндромне число.

Останні десятиліття породили нові жанри. Серед них – фрактальне (образотворче) мистецтво. Нагадай86 мо, що фракталами називають геометричні об’єкти, вимір яких набуває дробових значень. Фрактальне мистецтво зародилося у 1980-х роках. Це форма комп’ютерного мистецтва, що полягає у візуалізації певних математичних об’єктів, пов’язаних з ітерованими системами функцій, дивними атракторами динамічних систем та ін. Твори фрактального живопису сьогодні досить часто демонструють у музеях сучасного мистецтва. Елементи фрактальної геометрії трапляються також в архітектурі та дизайні.

Фрактальне мистецтво – частина так званого алгоритмічного мистецтва, тобто мистецтва, ґрунтованого на використанні комп’ютерних алгоритмів.

Нарешті завважмо, що універсально вартісне поняття симетрії має виразно математичне походження і водночас лежить в основі гармонії у різних жанрах мистецтва.

Взаємозв’язки математики й мистецтва виявляються і в зустрічному русі, коли в математичних конструкціях і доведеннях шукається естетична компонента, й досить часто ця компонента відіграє важливу роль в оцінюванні математичного результату. На цю тему є багато літератури.

 

ТЕОРІЯ КАТАСТРОФ

На початку 1970-х років особливу увагу за межами математики одержала так звана «теорія катастроф», яку створив американський математик Гаслер Вітні та французький математик Рене Том. Із математичної точки зору ця теорія зводилася до теорії особливостей диференційовних (гладких) відображень. Вона спочатку здавалася революційною, порівняно з попередніми математичними теоріями, що давали змогу будувати математичні моделі неперервних процесів.

Теорія катастроф від початку свого зародження претендувала на універсальність, адже диференційовані відображення трапляються повсюди, а тому всюди є і їхні особливості. Незабаром теорію катастроф почали застосовувати до геометричної оптики, гідродинаміки, стійкості кораблів, медицини і біології, а також до лінгвістики, соціології, психології та моделювання діяльності мозку. Критики цієї теорії вважають її застосування правомірним не у всіх ситуаціях – там, де йдеться про «тонкі матерії», на зразок опису поведінки соціальних груп чи навіть нервових хвороб, то існування гладких відображень, які правильно, адекватно описують ситуацію, не завжди є науково достовірним фактом.

Теорія катастроф – це зразок наукової теорії, для поширення якої її творці й апологети вдавалися до методів масової реклами. Математичні книги з основ теорії видавали мільйонними накладами. Критичні статті противників теорії лише підсилювали ажіотаж. На щастя, сьогодні вже не спостерігається надмірного інтересу до теорії катастроф та її застосувань, хоча багато цікавих проблем у ній ще не розв’язані.

 

ЕПІЛОГ

Ми торкнулися лише деяких питань, що стосуються багатогранних співвідношень математики й соціуму. За межами нашого розгляду залишилося багато цікавих тем. Подаємо деяку літературу, до якої може звертатися зацікавлений читач.

 

ЛІТЕРАТУРА

  1. Taylor A., Pacelli A. M. Mathematics and Politics. Strategy, Voting, Power, and Proof. 2nd ed. – Springer, 2009. – XVI. – 364 p.
  2. Taylor A. D. Social choice and the mathematics of manipulation. – New York : Cambridge University Press, 2005.
  3. Зарічний М. Елементи Теорії соціального вибору. – Львів : ЛМГО “Інститут політичних технологій” : ЛНУ ім. Івана Франка, 2001. – 160 с.
  4. Mas-Collel A. The Future of General Equilibrium // Spanish Economic Review. – 1999. – V. 1. – No. 3. – Р. 207–214.
  5. Зарічний М. М. Паліндроми // У світі математики. – 2008. – № 1. – С. 68–73.
  6. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и её приложения. – М. : Мир, 1980.
  7. Арнольд В. И. Теория катастроф. – М. : Наука, 1990. – 128 с.
  8. Том Р. Топология и лингвистика // УМН. – 1975. – Т. 30. – Вип. 1 (181). – С. 199–221.
Адміністратор

адміністратор сайту, ProAdmin

  • Коментарі не знайдено

Залиште свій коментар

Post comment as a guest

0
«
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
  • 14
  • 15
  • 16
  • 17
  • 18
  • 19
  • 20
»

Наші контакти


Ідея, веб-дизайн і т.д.:

Олег Романів
oromaniv at franko.lviv.ua