Log in

   

Архаїчна геометрія природи

Архаїчна геометрія природи Архаїчна геометрія природи

Німецькі геологи допомогли археологам - використовуючи фрактальний аналіз, вони змогли довести, що в околицях Дахшура - некрополя фараонів Стародавнього і Середнього царств в Єгипті - люди в далекому минулому вели активне будівництво. Видимих оку слідів будівель не залишилося, але виявилося, що втручання людини в природні процеси ерозії віддрукувалося в самій структурі каналів. На перший погляд це відкриття може здатися екзотичним, але геометричні методи в геології, навіть такі, як фрактальний аналіз, давно стали звичайною справою.

Предки сучасних фракталів

В кінці XIX століття математики були стурбовані питаннями, які пізніше призвели до виникнення топології, завершеної теорії інтегрування і багатьом іншим фундаментальним результатам. Тоді ж зародилися і перші предки фракталів, найпростішим представником яких можна вважати канторову множину. Як це часто буває, вперше цей об'єкт з'явився в роботі зовсім не Георга Кантора, а математика з Оксфорда Генрі Сміта в 1875 році. Ось як він сам описував побудова тоді ще безіменного об'єкта (pdf):

"Розглянемо деяке ціле число m. Розіб'ємо відрізок від 0 до 1 на m рівних частин і викинемо останню частинку (пропонується викидати інтервал - тобто відрізок без граничних точок). Потім кожну з m - 1 частинок, які залишилися, розіб'ємо на m рівних частинок і з кожної знову викинемо останню частинку. Продовжуючи так ad infinitum (тобто до нескінченності), отримаємо нескінченне число точок на відрізку.

Георг КанторРобота Сміта пройшла майже непоміченою фахівцями і множина була перевідкрита вже німецьким математиком Георгом Кантором у 1883 році. Насправді саму множину Кантор не будував, він будував функцію, яка пізніше отримала назву драбина Кантора - важливий приклад в теорії інтегрування. Більше того, ніякі відрізки Кантор не розглядав - його підхід був чисто арифметичним.

Він міркував так. Розглянемо точки на відрізку від 0 до 1 в трійковій системі числення. Всі числа в цій системі записуються "десятковим" дробом, в записі якого присутні тільки 0, 1 і 2. Наприклад, 0,13 дорівнює 1/3 в десятковій і так далі. Множиною Кантора називається множина чисел, в запису яких фігурують тільки 0 і 2. Виявляється, це майже те ж саме, що робив Сміт, тільки в його конструкції m має дорівнювати трьом і на кожному кроці слід викидати не останній відрізок, а той, що посередині.

Отриманий об'єкт має низку дивних властивостей. Наприклад, на перший погляд може здатися, що в ньому дуже мало точок - швидше за все, тільки граничні точки відрізків, що викидаються. Однак, це не так. Наприклад, точка 1/4 в трійковій системі числення записується як 0,020202 ..., тому не є граничною, але лежить в множині Кантора. Більш того, самому Кантору вдалося довести, що точок у названій на честь нього множині дуже багато - стільки ж, скільки в цілому відрізку (такі нескінченні множини називають "множинами континуальної потужності"). При цьому, до слова, сумарна довжина всіх викинутих з відрізка інтервалів дорівнює одиниці, тобто в ході побудови було викинуто практично все - такі от математичні гримаси нескінченності.

Після Кантора і Сміта метод побудови різних множин та об'єктів за допомогою нескінченного процесу став досить популярним. У 1904 році, наприклад, швед Хегле Кох запропонував конструкцію кривої, що отримала пізніше назву кривої Коха, або сніжинки Коха. Візьмемо рівносторонній трикутник і розіб'ємо кожну його сторону на три частини. Серединні відрізки викинемо, замінивши їх "рогом", складеним з двох відрізків тієї ж довжини, що і викинутий. Отримуємо многокутник з 12-ма сторонами. На кожній з них знову проробимо таку ж операцію. Діючи так ad infinitum, отримаємо криву з двома чудовими властивостями - в жодній точці у неї немає дотичної, а її довжина дорівнює нескінченності, при тому що сама крива за межі первісного трикутника не надто йі вилазить. Більше того, схема побудови така, що будь-яка частинка цієї кривої має нескінченну довжину. Анімацію цього процесу можна подивитися тут.

Аналогічним чином будуються і багато інших об'єктів - наприклад, трикутник (серветка, решітка - інші назви) Серпінського, крива Пеано (вона ж крива Гільберта) - крива, яка так хитро згинається (без самоперетинів!), що застилає квадрат; губка Менгера; фрактал Теркотта, використовуваний при аналізі механіки руйнування, і багато інших.

Динамічні системи та поняття фрактала

Перенесемося тепер з кінця XIX століття в середину XX-го. У цей час щосили відбувається становлення абсолютно нової для математики концепції чисельного експерименту - завдяки появі комп'ютерів найбільш теоретична з наук отримала в своє розпорядження потужний інструмент для експериментів. Особливо активно нова концепція застосовується в теорії динамічних систем.

Динамічною системою в математиці називають деякий простір, іменований фазовим, кожна точка якого характеризує стан системи. Крім цього заданий закон еволюції - правило, за яким система з плином часу змінює свій стан. Подібного роду системи застосовуються, наприклад, при вивченні динаміки популяцій у біології, генетиці, механіці, для моделювання роботи електронних мікросхем і багато іншого. Знаходять динамічні системи застосування і в геології, наприклад, для моделювання взаємного руху тектонічних плит - плити в цьому випадку розглядаються як диски, між якими є сухе тертя.

Множина Мандельброта

В кінці 50-х років минулого століття вивченням такого роду систем з дискретним часом (тобто в яких перехід від стану до стану відбувається кроками, а не безперервно) за допомогою чисельних експериментів займався Бенуа Мандельброт. Він розглядав таку просту нелінійну систему. В ролі фазового простору бралася звичайна площина (тобто стан системи визначалося точкою на площині) як множина комплексних чисел. Закон переходу від стану до стану задавався правилом f (z) = z 2 + b. Тобто, якщо в n-ий момент часу динамічна система була в стані zn, то в наступний момент вона переходила у стан zn+1 = f (zn).

Щодо цієї системи Мандельброт цікавився питанням обмеженості траєкторій. Під траєкторією в даному випадку слід розуміти послідовність точок zn, яка, як випливає з формул, однозначно визначається своїм вихідним станом z0. Обмеженість, у свою чергу, означає, що можна вибрати коло досить великого радіуса, з якого послідовність zn не вийде за будь-якого n. Питання обмеженості траєкторій досить природне - в реальних механічних системах нескінченне зростання фазових змінних ні до чого хорошого зазвичай не призводить.

Мандельброт цікавився обмеженістю цілком конкретної траєкторії, що починається в нулі z0 = 0 залежно від параметра b. За допомогою комп'ютера він проводив чисельний експеримент, і якщо за деяке число кроків точка "втікала" досить далеко, то він вважав, що вона втікає на нескінченність. В результаті йому вдалося намалювати на площині множину таких b (нехай і приблизно), для яких траєкторія нуля обмежена.

У 1977 Мандельброт випустив книгу "Фрактальна геометрія природи", яка складалася переважно з таких ось згенерованих на комп'ютері картинок для різного роду систем, і деякої кількості не надто строгих з математичної точки зору міркувань, покликаних обгрунтувати читачеві появу цих самих картинок. Саме в цій книзі вперше з'явився термін фрактал.

Так як книжка носила, в цілому, розважальний характер, то сам термін фрактал не має строгого математичного визначення. Одним з найбільш поширених варіантів, нехай і трохи неформальним, є такий: фракталом називається геометрична фігура, що має достатній ступінь самоподібності. Під самоподібністю тут розуміється те, що якісь складові частини фігури, будучи збільшеними, збігаються з вихідним об'єктом. У якомусь сенсі це визначення є результатом банальної розшифровки самої назви: "fractus" латиною означає дробовий, а "frangere" - ламати.

З точки зору такого визначення множина Кантора, про яку йшлося вище, є фракталом. Цією ж властивістю володіють частинки сніжинки Коха, складові частини трикутника Серпінського та інші, згадані вище фрактали. Трохи менш очевидно, що цією властивістю самоподібності володіє множина Мандельброта - але, як виявилося, так воно і є.

Розмірність і геологія

Множина Мандельброта показує, що фрактали природним чином виникають в динамічних системах. Саме через цей розділ математики і фізики вони потрапили в геологію. Однак перш ніж перейти до застосувань, нам потрібний один з основних інструментів фрактального аналізу - розмірність.

Розмірність в топології буває різною. Найпростіша - це так звана топологічна розмірність. Не вдаючись у деталіі, можна сказати, що топологічна розмірність точки дорівнює нулю, прямої (відрізка) - одиниці, площини (плоскої фігури, наприклад, кола) - двом, простору - трьом. Інтуїтивно зрозуміло, що розмірність, наприклад, канторової множини дорівнює нулю, кривих Коха і Пеано - одиниці і так далі.

Метод Річардсона обчислення розмірності берегової лінії британських островів. Ілюстрація В.Захаров / Динамічні системи та фрактали в геологіїКрім топологічної розмірності, для фракталів визначена так звана фрактальна розмірність. Уявімо, що у нас є берегова лінія, наприклад, Великобританії, і ми хочемо виміряти її протяжність. Логічно для цього використовувати лінійку - тобто ми будемо наближати складну форму берегової лінії до ламаної з однаковими ланками. При спробі реальних вимірів з'ясується, що із зменшенням лінійки довжина берегової лінії зростає, причому зростає експоненціально (правда, до певного моменту)!

Це, звичайно, дивно, але з таким ефектом ми вже зустрічалися - ламані, які ми будували для одержання кривої Коха, можна вважати наближеннями скінченного фрактала. Кожна ламана має скінченну довжину, але можна показати, що з кожним кроком ця довжина зростає експоненціально і необмежено.

Тепер уявімо, що фрактал зменшили в r разів. Скільки копій N зменшеного фрактала буде потрібно, щоб накрити первісний об'єкт? Виявляється, відповідь на це питання така ж, як і у випадку з береговою лінією, тобто пов'язаний з деякою експонентою: N приблизно дорівнює rD. Виявляється показник D визначається однозначно і саме його називають фрактальної розмірністю об'єкта. Відповідно більш строге визначення фрактала звучить так: фрактал - це об'єкт, топологічна розмірність якого менша фрактальної (це умова носить назву нерівності Мандельброта). Для всіх розглянутих нами фракталів ця умова виконана. Наприклад, фрактальна розмірність канторової множини трохи більше 0,63, кривої Коха - більше 1,26, кривої Пеано -  точноі 2 (з цього, до речі, випливає, що досить популярне визначення фрактала як об'єкта дробової розмірності не надто зручне).

Однак, фрактальна розмірність - це математична абстракція, тому виникає питання, як її обчислювати на практиці, для реальних об'єктів? Один метод (яким і обмежимося), виявляється, вже сформульований - це метод Річардсона, використовуваний для обчислення розмірностей кривих, зокрема й берегових ліній. Для того щоб оцінити розмірність об'єкта, досить побудувати графік залежності логарифма отриманої довжини кривої від логарифма довжини лінійки. Наприклад, обчислена таким чином фрактальна розмірність земних континентів і великих островів дорівнює приблизно 1,22.

Для чого потрібна фрактальна розмірність? Виявляється, вона дозволяє виявити зовсім несподівані співвідношення в природі. Наприклад, площа континенту або великого острова S співвідноситься з його периметром за формулою S приблизно дорівнює P2/D, де D - фрактальна розмірність. Аналогічні співвідношення існують для маси і периметра, маси і діаметра і багато інших (хоч це і не має відношення до обговорюваної теми, але можна згадати, що фрактальна розмірність натурального пуху дорівнює 1,6).

Некрополь і чорнові піраміди

Деякий час тому в Quaternary International з'явилася стаття німецьких геологів. У цій роботі вони застосували згаданий вище фрактальний аналіз в допомогу археологам. Про все детальніше.

Ламана піраміда. Фото Néfermaât / WikicommonsДахшура - відома нині на весь світ визначна пам'ятка Єгипту на південь від Каїра. У далекому минулому це було священне місце, некрополь - тут ховали правителів Стародавнього і Середнього царств приблизно 4,5 тисячі років тому. Відповідно до сучасних уявлень, саме тут єгиптяни відточували навички будівництва пірамід - у Дахшурі збереглися піраміди дивних форм. Наприклад, Ламана піраміда Снофру - це піраміда, нахил сторін якої різко змінюється на півдороги до вершини.

Сам некрополь відносно невеликий - площею 1,3 на 5 кілометрів. За 4,5 тисячі років сліди людського втручання на цій території майже повністю стерлися. Однак геологи припустили, що навіть якщо видимих слідів втручання не залишилося, сліди будівництва, яке велося на території некрополя, можна виявити в структурі рельєфу і природних водних каналів в регіоні.

Для регіону вчені обчислювали два параметри. Перший - це фрактальна розмірність мережі каналів. Відомо, що такого роду мережі (як і русла річок) є в деякому сенсі самоподібними деревами, для яких фрактальна розмірність більше топологічної, яка в даному випадку дорівнює одиниці. Другий параметр був дещо хитрішим - вчені брали комп'ютерну модель рельєфу і обчислювали її фрактальну розмірність. Вони припустили, що, так як рельєф в цій місцевості формується переважно під впливом потоків води, ці два параметри повинні бути пов'язані, тобто корелювати.

У результаті вдалося виявити, що кореляція тим менша, чим ближче до пірамід. З цього вони зробили висновок, що слабкий взаємозв'язок між цими двома розмірностями і є показником втручання в процес людини, його наслідком. Дослідникам вдалося навіть оцінити приблизну площу втручання - близько 6 квадратних кілометрів навколо Дахшура. Швидше за все, пробне будівництво велося в часи сніфера - першого фараона IV династії і батька Хуфу (відомого також як Хеопс), фараона, який побудував найвідомішу з великих пірамід.

Самі дослідники поки акуратно говорять про своє відкриття - для того, щоб переконатися, що людське втручання пов'язане з кореляцією двох фрактальних розмірностей, потрібний час. Однак якщо їх результати підтвердяться, археологи отримають чудовий і зовсім несподіваний інструмент для пошуку місць для майбутніх розкопок. І це буде класноПосмішка

Переклад Lenta.ru

Mini Admini

Якщо не можеш вітер змалювати, прозорий вітер на ясному тлі, -
Змалюй дуби, могутні і крислаті, котрі од вітру гнуться до землі!

Залиште свій коментар

Post comment as a guest

0
«
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
  • 14
  • 15
  • 16
  • 17
  • 18
  • 19
  • 20
»

Наші контакти


Ідея, веб-дизайн і т.д.:

Олег Романів
oromaniv at franko.lviv.ua