Log in

   

Брате, ти цілий?

Щільність простих чисел Щільність простих чисел

Щільність простих чисел

Щільність простих чисел

 

 

Американський математик Ітан Чжан представив роботу, яка може вважатися найважливішим кроком на шляху вирішення задачі про прості числа-близнюки - за деякими даними, однією з найстаріших невирішених проблем в математиці. Робота прийнята в Annals of Mathematics і, судячи з перших відгуків рецензентів, помилок не містить. У відкритому доступі статті поки немає, але записи з семінару, який Чжан провів у Гарвардському університеті, вже гуляють по Мережі.

Простими називаються числа, які діляться тільки на одиницю і на себе (для зручності 1 у множину простих не включається). Вони завжди цікавили математиків, адже саме прості числа складають цеглинки, з яких побудовані всі інші числа - добре відомо, що довільне число єдиним чином розкладається в добуток простих чисел (необов'язково попарно різних).

Очевидно, що природні питання, що виникають у зв'язку з цим у математиків, стосуються будови множини простих чисел. Незважаючи на те, що більшість таких питань, як правило, формулюється дуже просто, відповіді на них не просто складні. Найчастіше вони виявляються результатом цілих теорій, які, як водиться, мають купу корисних додатків - від криптографії до квантової механіки, але створювалися виключно для того, щоб відповісти на ці самі питання.

Многочлен Джонса. Формула для генерації простих чисел: множина невід'ємних значень цього многочлена від 26 змінних для всіляких наборів з 26 натуральних чисел дає всі прості числа.

Многочлен Джонса. Формула для генерації простих чисел: множина невід'ємних значень цього многочлена від 26 змінних для всіляких наборів з 26 натуральних чисел дає всі прості числа.

 

 

 

Перш за все виникає питання про те, чи скінченна множина простих чисел. Відповідь добре відома зі школи: множина простих чисел нескінченна, і це легко довести. Дійсно, нехай це не так і множина простих чисел скінченна. Позначимо ці числа через p1, p2, ... pn і розглянемо число

p1p2 .... pn + 1.

Легко бачити, що це число не ділиться на жодне з перерахованих простих чисел, і, отож, серед його простих дільників є числа, які в наш список не потрапили. Це протиріччя і завершує наше доведення. Точніше, не наше, а Евкліда, опубліковане в 9-му томі його «Начал».

Якщо простих чисел нескінченна множина, то виникає інше питання: як вони розташовані в ряду натуральних чисел? Чи немає для них, наприклад, формули? Виписування перших декількох чисел (скажімо, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19) абсолютно не прояснює (принаймні автору) ситуацію. На даний момент відомо кілька результатів, що стосуються будови цієї множини. Цим питанням (про формулу) також займався Евклід. Йому, наприклад, належить наступне спостереження: квадратичний тричлен n2 - n + 41 дає прості значення для всіх натуральних n, що не перевершують 40. Можливо, тоді існує відповідна формула у вигляді многочлена? Легко доводиться, що такої формули, звичайно, немає. Втім, деяку подобу формули отримати можна (див. формула вище). 

Якщо ефективної формули для множини простих чисел немає, то, очевидно, його слід вивчати іншими методами. Наприклад, наскільки рідко можуть бути розташовані прості числа? Виявляється, послідовні відрізки числового ряду, що не містять жодного простого числа, можуть бути як завгодно довгими. Дійсно, візьмемо довільне натуральне число n і розглянемо відрізок натурального ряду виду

(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, ..., (n + 1)! + n + 1.

Кожне з представлених чисел складене: перше ділиться на 2, друге - на 3, третє - на 4 і так далі. Отож, прості числа можуть бути як завгодно «розрідженими». Більше того, можна сказати, що в деякому розумінні відстань між сусідніми простими числами в середньому росте як log p.

Відповідно, виникає наступне питання: а яка мінімальну відстань може бути між двома простими числами? Нехай це відстань 1, тобто числа p і p + 1 прості одночасно. Враховуючи, що парні і непарні числа числового ряду чергуються, отримуємо, що одне з цих чисел повинно бути парним, тобто ділитися на 2. Якщо врахувати, що за нашою (суто технічного) угодою 1 не є простим числом, то існує одна-єдина така пара простих чисел - це 2 і 3. Отже, відстань між будь-якими двома сусідніми іншими простими числами - як мінімум два. Прості числа, відстань між якими дорівнює двом, і називаються числами-близнюками.

Перші кілька пар чисел-близнюків легко перерахувати - це (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19) і так далі. Найбільша пара чисел-близнюків з відомих на даний момент була відкрита в грудні 2011 року в рамках проекту розподілених обчислень PrimeGrid. Вона має вигляд

(3756801695685 · 2666669 - 1, 3756801695685 · 2666669 + 1).

У десятковому записі кожного з цих чисел по 200700 знаків. Це, звичайно, дуже великі числа, і саме їх існування ставить таке питання: чи скінченна множина чисел-близнюків? Це питання, точніше припущення про нескінченність цієї множини, і носить назву «гіпотези про числа-близнюки». Тут важливо розуміти, що нескінченність множини чисел-близнюків ні в якому разі не суперечить твердженню про логарифмічне зростання відстаней між простими числами - зростання просто означає, що виключень (які не укладаються в загальну тенденцію чисел) досить мало.

Досить часто гіпотезу про числа-близнюки приписують Евкліду. Зрозуміло, такого роду твердження були грекам під силу, проте переконливих підтверджень цього факту немає. Вперше в друкованій літературі ця гіпотеза була висловлена в 1849 році Альфонсом де Поліньяком в більш загальному вигляді: для будь-якого парного числа 2k  множина таких сусідніх простих чисел (тобто між якими немає інших простих), щоб відстань між ними в точності дорівнювала 2k, нескінченна. При k = 1 отримуємо оригінальне формулювання. Що стосується терміну «числа-близнюки», то він був введений в ужиток математиком Вігго Бруном. Брун вивчав різного роду прості числа і в 1915 році довів чудову теорему, про яку, мабуть, слід розповісти трохи детальніше.

Гармонійним рядом називається послідовність дробів 1/n. Відомо, що, незважаючи на спадання величин цієї послідовності, сума цього ряду нескінченно велика: тобто, для будь-якого наперед заданого числа можна підібрати таке N, що сума перших N членів гармонійного ряду буде більше цього числа. При цьому, якщо брати не всі натуральні n, а тільки прості, тобто розглянути послідовність 1/pn, де pn - послідовно занумеровані прості числа, то сума отриманого ряду все одно буде нескінченно великою ( такий ряд розбігається).

Брун вирішив розглянути послідовність, що складається тільки з чисел-близнюків. Якби такий ряд розбігався, то з цього одразу ж випливало б твердження гіпотези про числа-близнюки - ясна річ, сума скінченного числа чисел не нескінченна. Однак, виявилося, що сума отриманого ряду не тільки скінченна (ряд збігається), але і дорівнює досить невеликому числу, відомому як константа Бруна B2. Вона приблизно дорівнює 1,902160583104. Тобто теорема Бруна є ще одним підтвердженням того, що пар чисел-близнюків в порівнянні з іншими простими числами небагато.

Ітан ЧжанІнтерес Бруна до чисел-близнюків був інспірований, серед іншого, виступом Едмунда Ландау на П'ятому Міжнародному конгресі математиків в 1912 році. Тоді Ландау сформулював чотири завдання з теорії чисел, вирішення яких, на його думку, було недосяжним для математиків того часу. Гіпотеза про числа-близнюки була однією з цих проблем. Насправді за минулі 100 років ситуація дещо змінилася, але тільки не для гіпотези про числа-близнюки (наприклад, трінарная проблема Гольдбаха для досить великих чисел була розв'язана в 1937 році Виноградовим). При цьому більшість математиків впевнені в істинності гіпотези про числа-близнюки. Наприклад, найсвіжіше неправильне доведення цього твердження датується 2004 роком.

Та що там гіпотеза! До останнього часу не був зрозумілий навіть такий факт. Розглянемо множину Mk з гіпотези Поліньяка сусідніх простих чисел, відстань між якими дорівнює 2k. Чи нескінченна ця множина хоча б для якого-небудь k? Лише тільки тепер математик з США Ітан Чжан показав, що для деякого k, що не перевершує 35 мільйонів, така множина дійсно нескінченна. На перший погляд може здатися, що 35 мільйонів від 1 (мова про k) дуже далекі, але не для математики.

Отже, що ж зробив Чжан? Він взяв більш ранню роботу свого колеги і трохи підправив функції, які там фігурували (більш детально доведення  викладено тут). При цьому, що особливо дивно і що навіть викликало підозри на першому етапі аналізу доведення, Чжан використовував вже існуючу техніку. У цьому сенсі його доведення разюче відрізняється від, наприклад, недавнього доведення ABC-гіпотези Сініті Мотідзукі (теж, до речі, ключової проблеми теорії чисел, яку часто згадують в одному ряду з гіпотезою про числа-близнюки). Доведення Мотідзукі займає понад 500 сторінок і містить цілу теорію - з моменту публікації минуло півроку, а результати його перевірки до цього часу невідомі. 

Стаття Чжана, навпаки, досить проста. Більше того, її рецензенти з Annals of Mathematics - журналу, куди вона була подана - заявили, що судячи з усього робота вірна. Головне, втім, навіть не це - не виключено, що метод Чжана ще можна буде підправити, так що, можливо, значення k вдасться зменшити. Сам математик майже впевнений, що до 1 справа не дійде, але що можна «збити» з 35 мільйонів, він не сумнівається.

Замість висновку

Тут, за доброю традицією, автор повинен спробувати відповісти на запитання допитливого читача: «А навіщо все це потрібно?» Цього разу відповідь буде у вигляді байки.

У 1994 році математик Томас Найслі обчислював константу Бруна. Робив він це грубою силою, тобто обчислюючи суму дробів для пар чисел-близнюків. Коли справа дійшла до пари (824 633 702 441, 824 633 702 443), в машинній видачі виявилися дивацтва. Зокрема, суми, пораховані до додавання в мережіунових потужних машин на базі Pentium, відрізнялися від цифр, отриманих після. Провівши кілька випробувань, Найслі дійшов висновку, що в процесорах Intel є якийсь дефект в системі поділу чисел з плаваючою крапкою. Незважаючи на те, що неправильний результат в середньому видавався в одному випадку з 9 мільярдів, новина про наявність бага призвела до того, що в 1995 році корпорація Intel витратила 475 млн. доларів на заміну процесорів, що містили дефекти. Такі от справи.

Переклад Lenta.ru

Mini Admini

Якщо не можеш вітер змалювати, прозорий вітер на ясному тлі, -
Змалюй дуби, могутні і крислаті, котрі од вітру гнуться до землі!

Детальніше в цій категорії: « Простіше нікуди ScienceDirect »

Залиште свій коментар

Post comment as a guest

0
«
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
  • 14
  • 15
  • 16
  • 17
  • 18
  • 19
  • 20
»

Наші контакти


Ідея, веб-дизайн і т.д.:

Олег Романів
oromaniv at franko.lviv.ua