Log in

   

Розв'язок проблеми Кеплера у вимірах 8 і 24

Марина Вязовська Марина Вязовська

Недавно на сервері препринтів arxiv з'явилося дві публікації, присвячених розв'язкові проблеми «пакування сфер» у вимірах 8 і 24.

Саму проблему для тривимірного простору сформулював ще Кеплер. Знадобилося, однак, майже 400 років, аж поки проблему не розв’язав американський математик Томас Гейлз (див. його науково-популярну публікацію: http://www.ams.org/notices/200004/fea-hales.pdf). З практичної точки зору розв’язок виглядає просто – так складають апельсини у магазинах.

Однак, повні математичні викладки строгого доведення займають понад 250 сторінок. Що ж, така особливість не однієї геометричної чи топологічної проблеми – попри певну очевидність стверджуваного результату, формальне доведення може бути вельми довгим і складним; прикладом може служити відома теорема Жордана.

Зрозуміло, що проблему знаходження оптимального пакування сфер можна формулювати у всіх вимірах. Попри певну абстрактність, така проблема має значні застосування до побудови кодів, що виправляють помилки.

З’ясувалося (http://arxiv.org/pdf/1603.04246.pdf), що у вимірі 8 оптимальне пакування задається так званою ґраткою E8. Це дискретна підгрупа у восьмивимірному просторі, що задається умовами:

1) координати кожного елемента групи – цілі числа, або половини від цілих чисел (не допускається, щоби одночасно серед координат траплялися і цілі, і напівцілі);

2) сума всіх восьми координат елемента групи – парне ціле число.

Автором цього розв’язку є український математик Марина Вязовська. Зараз вона займає постдокторську посаду у Берлінській Математичній Школі та Університеті Гумбольта у Берліні. Свою кандидатську дисертацію Вязовська захистила у Інституті математики НАН України, її науковий керівник – професор Ігор Шевчук з Київського університету.

Через тиждень після публікації препринта, Вязовська разом з колективом математиків (серед них був ще один українець – Данило Радченко) знайшли розв’язок для проблеми пакування сфер у вимірі 24 (див. http://arxiv.org/pdf/1603.06518.pdf). Відповідь тут дається так званою ґраткою Ліча (Leech lattice). Існують різні конструкції ґратки Ліча, проте найпростіше собі уявити її як ламіновану ґратку. Отож, починаємо з одноточкової гратки L(0) і далі індукцією допасовуємо до кожної ґратки L(i) її копії так, щоби не зменшувати попарну відстань між точками. Для прикладу, L(1) – множина цілих чисел, L(2) – шестикутна ґратка, L(3) – гране-центрована кубічна ґратка і т.д. Існує також цікава конструкція ґратки Ліча за допомогою вкладення у (25+1)-вимірний простір-час Мінковського.  

М.М. Зарічний

доктор фізико-математичних наук, професор кафедри геометрії і топології

Сайт: www.franko.lviv.ua/faculty/mechmat/Departments/Topology/zarichnyi.html
Детальніше в цій категорії: Естетика в математиці – дуже важлива річ »
  • Коментарі не знайдено

Залиште свій коментар

Post comment as a guest

0
«
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
  • 14
  • 15
  • 16
  • 17
  • 18
  • 19
  • 20
»

Наші контакти


Ідея, веб-дизайн і т.д.:

Олег Романів
oromaniv at franko.lviv.ua