Log in

«Must know» від Міші Вербіцького

«Must know» від Міші Вербіцького «Must know» від Міші Вербіцького

Міша (Михайло Сергійович) Вербіцький - математик і блогер. Він - випускник мехмату Московського університету, а дисертацію захищав у Гарварді. Погляди Вербіцького на викладання математики не менш екстравагантні, ніж деякі його соціальні ініціативи. Він, скажімо, без респекту ставиться до "священної корови" математичних програм - математичного аналізу, натомість пропонує багато чого іншого. Програма Вербіцького у другому семестрі другого курсу на математичному факультеті Вищої школи економіки закінчується обчисленням когомологій груп Лі! (Всю програму я тут не наводжу, дбаючи про нервову систему читачів; на свій страх і ризик її можна переглянути за посиланням: http://verbit.ru/Job/HSE/Curriculum/all.txt).

У міркуваннях Вербіцького мені близький сюжет про core mathematics. Не можна створювати непереборного провалля між університетською математикою і тією, що розвивається у сучасному світі. Свого часу я критикував економістів за те, що через зменшення навчальних годин на математику вони в принципі не зможуть зрозуміти, у чому суть деяких Нобелівських премій з економіки (для прикладу, результати Дебре з теорії ринкової рівноваги). Однак, приблизно те ж саме можна закинути і математикам - далеко не кожен з них, навіть якщо з науковим ступенем, знає результати лавреатів медалі Філдса (нижче, у тексті Вербіцького, згадано один з таких результатів - теорему Атії-Зінгера).

Зрозуміло, що стовідсотково реалізувати ідеї Вербіцького неможливо. Обчислювальний аспект аналізу та споріднених курсів не можна звести до нуля - математик повинен вміти "закотити рукави" і робити щось реальне. (Я знав одного неординарно ерудованого математика, який був безпорадний у конкретиці. Здається, він так і не довів жодної теореми.) Проте можна і потрібно знаходити якийсь компромісний варіант між, так би мовити, ідейним розмаїттям та конкретними вміннями.  

За моєї пам'яті, певні зміни у змісті викладання відбулися на переломі 80-х-90-х років, коли на факультет прийшла відносно велика група випускників провідних університетів. Навряд чи аналогічної інвазії, а з нею і якоїсь революції у викладанні математики, можна сподіватися  у найближчому часі.

Нижче наведено, як видно, мотивації до програми М. Вербіцького. Гадаю, що їх буде цікаво прочитати навіть тим математикам, що категорично не поділяють сформульованих там поглядів.


Невеликий глосарій до тексту:

НМУ - Незалежний Московський університет
ВШЕ (Вышка) - Вища школа економіки
матфак - математичний факультет ВШЕ
мехмат - факультет Московського університету ім. Ломоносова
ПТУ - профтехучилище
Дима Павлов - невідомий

ЗАЧЕМ ВСЕ ЭТО (мотивационная часть)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

CORE MATHEMATICS

Матфак, а равно и НМУ, постоянно критикуют за узкий выбор математических предметов. Критики уверены, что обучение математике должно строиться как на мехмате, то есть основным предметом должна быть теория функций действительного переменного (анализ на прямой), в нагрузку к которой предлагается сборная солянка из прикладных курсов, от статистики классической механики и дифуров до УрЧП.

Я не уверен в практической ценности подобных знаний, хотя программа "калькулюса" в западных университетах (математические курсы, которые читаются для студентов, которые не собираются быть математиками, и впадают в кататонический ступор при виде икса в уравнении) в общих чертах соответствует этому идеалу. Но "калькулюс" есть универсально ненавистный предмет, вызывающий равное отвращение у студентов и у преподавателей. Поэтому обсуждать калькулюс противно и я не хочу.

Дима Павлов предложил называть предмет, который преподает НМУ и матфак Вышки, core mathematics, ссылаясь на текст Майкла Атьи, где core mathematics якобы определяется. Подходящей цитаты из Атьи я найти не мог, но суть происходящего изложить просто. Математик развивает свою науку на фундаменте теорий, разработанных его предшественниками. Некоторые из этих теорий развились до такой степени, что для осмысленной работы с ними требуется несколько лет изучения.

Интересно, что если отбросить верхний этаж, то есть науки, которые требует год-другой нормальной работы, чтобы их освоить, останутся курсы, которые теснейшим образом переплетены друг с другом. Алгебраическую топологию невозможно освоить без теории категорий и гомологической алгебры, они же играют ключевую роль в алгебраической геометрии, которая основана на коммутативной алгебре, теории чисел, дифференциальной геометрии и комплексном анализе, которые базируются на топологии и УрЧП. Именно это и называется core mathematics - совокупность тесно связанных предметов, лежащих в фундаменте большинства заметных достижений математики после начала 1960-х.

Прекрасной иллюстрацией к понятию core mathematics является теорема об индексе Атьи-Зингера; для ее понимания нужны фундаментальные знания в функциональном анализе, топологии, теории групп Ли, спинорной геометрии, К-теории и УрЧП, а ее основная область применения - алгебраическая геометрия, дифференциальная геометрия и топология. Для практических целей, можно определить core mathematics как "предметы, которые используются в доказательстве теоремы Атьи-Зингера". Это определение неточное, но настолько близкое к точному, что разница делается незначительна. Вместо Атьи-Зингера можно взять любое другое великое достижение математики: работы Делиня по гипотезам Вейля (и их развитие в книге Бейлинсона-Бернштейна-Делиня), доказательство Уайлсом теоремы Ферма, доказательство Гротендика формулы Гротендика-Римана-Роха, доказательство Гивенталем зеркальной симметрии, или работы Дональдсона, Уленбек и Таубса по 4-мерной топологии. Для каждого из этих предметов, сущность "core mathematics" будет немного другой, но разница в десяток процентов непринципиальна, и никак не влияет на предмет обучения студентов первого и второго года.

Ориентация матфака ВШЭ на core mathematics в общих чертах разделяется студентами и сотрудниками; предложенная мной программа есть введение в core mathematics и ничего больше. Выбранная ориентация -- не предмет для обсуждений, если вам нужен факультет, где готовят программистов, инженеров или актуариев, вы пришли не туда.

Для целей составления этой программы, единственная иерархия есть роль предмета в core mathematics; в программу включены предметы, без которых невозможно обойтись при изучении более продвинутых курсов, и только они.

ПРО МАТЕМАТИКУ

В середине 1980-х мне попался в руки учебник анализа для студентов ПТУ - небольшая книжка в коричневой мягкой обложке. Что интересно, он содержал себе, в доступной студентам ПТУ элементарной и вместе с тем математически строгой форме, все содержание курса математического анализа, нужного большинству математиков.

Лопиталю, вице-президенту французской Академии, желавшему усвоить примерно тот же материал, потребовался десяток лет и личный учитель в лице Иоганна Бернулли, которому Лопиталь платил 300 фунтов в год за уроки (где-то $30,000 на современные деньги), а ординарному человеку этот материал был совершенно недоступен.

Сейчас тому же самому можно (и нужно) обучать студентов ПТУ и школьников.

Объяснить этот поразительный прогресс можно по-разному, начиная с биологических изменений в организме человека под действием горизонтальной эволюции и заканчивая эффектом Флинна, который установил, что IQ жителей большинства стран растет на 2-3 процента каждое десятилетиее. Но самое разумное объяснение, оно же самое простое, состоит в изменении математического языка.

Математика сама по себе - язык, но грамматика и синтаксис этого языка меняется до неузнаваемости каждые 20-50 лет. Мне однажды попалась первая статья Морса, из которой я пытался выяснить доказательство леммы Морса в гиперболической геометрии. Мне это не удалось, и даже не удалось найти в тексте ее формулировку. С таким же успехом статья могла быть написана на китайском. В результате я придумал собственное доказательство, это оказалось сильно проще, чем разбираться в морсовском.

В математике идут одновременно два процесса: органический рост этого потрясающего строения, которое называется core mathematics, и одновременно - не менее потрясающая перестройка оснований математического языка, постепенно уравнивающая гениев 300-летней давности с современными ПТУшниками.

Эти два процесса постепенно компенсируют друг друга, иначе здание core mathematics стало бы излишне огромным, негостеприимным, и со временем - необитаемым.

Это значит, что каждое открытие, каждый сантиметр прогресса в математике переднего края приводит к перестройке математического языка. Прогресс математики -- это не только открытия на переднем крае, это еще и радикальное упрощение доселе нетривиальных концепций core mathematics.

Преподавать современную математику можно только в постоянной переоценке ценностей, день ото дня отбрасывая все ненужное и устаревшее, и замещая песок и папье-маше в фундаменте здания стеклокерамикой и бакелитом. Иначе мы застрянем в той же точке, что и мехмат.

Если вдуматься, все содержание математического образования XIX века (и современной России) можно подчерпнуть за год из хорошо составленного учебника по матанализу для ПТУ.

Подозреваю, что через 100 лет то же самое будут говорить и про содержательную часть всех курсов матфака.

ПРО МАТФАК

Я проработал тут 5 лет, и ни разу не был разочарован ни в коллегах, ни в студентах. Они замечательны и прекрасны, и нравятся мне лично, и как профессионалы. Зато программа обучения на матфаке вызывает массу нареканий.

Общая структура (четыре модуля вместо двух семестров, курсы по выбору после первых двух лет обучения с полным набором обязательных курсов) вроде бы всем по нраву. Проблема в содержании программы этих двух курсов; оно совершенно ужасно. Другое дело, что у нас не так уж много выбора.

Известен случай, когда один наш коллега начал первую лекцию для первого курса по алгебре в НМУ (в конце 1990-х) с вычисления группы Галуа конечного поля. Первокурсники не жаловались, потому что почти все закончили матшколу, и  прекрасно знали про конечные поля. Те, кто не знали, тоже не жаловались, потому что отсеялись после первой лекции.

На матфаке эта стратегия не работает, потому что московские матшкольники (за редкими и приятными исключениями) - чуть ли не слабейшая часть нашего контингента. Ожидать от остальных студентов сильного матшкольного бэкграунда глупо. Соответственно, занятия должны быть равно интересны и тем и этим.

Многие лекторы первых курсов решают эту задачу как на мехмате, загружая студентов сложными вычислительными примерами, в равной степени недоступными матшкольникам и нематшкольникам. В результате примерно половину времени  студенты занимаются символьными манипуляциями, которые учат их ровно одному: как проще всего обмануть лектора или семинариста, минимизируя тупую работу через всем известные лайфхаки. Косить и забивать - скилл довольно полезный, но посвящать ему столько часов все-таки не надо.

К концу 2-го курса мы обретаем 4-5 десятков студентов, из которых больше половины твердо поняли, что ничему на матфаке учиться не будут, а из остальных 20 три четверти не в состоянии заниматься чем бы то ни было кроме как из-под палки. Оставшиеся 3-5 человек, конечно, золотые, но критической массы (после которой студенты могут спокойно научить себя сами и не нуждаются ни в программах, ни в преподавателях) обыкновенно не образуют.

Эффект этот хорошо известен: студенты (и вообще любые люди творческих занятий) образуют пирамиду, причем ее нижние ряды универсально унылы и ни к чему неспособны. Казалось бы, можно их без ущерба для человечества удалить (уволить, выгнать с матфака, расстрелять, метод неважен). Но по факту, из удаления нижних рядов пирамиды ее конфигурация не меняется, просто пирамидка проседает, и нижние ряды оставшихся становятся, в свой черед, унылы и ни к чему неспособны.

Именно это и происходит на матфаке к концу второго курса, когда из учебного процесса вымывается больше половины студентов: из 40% студентов, которые чем-то занимаются, остается при делах не больше 15.

Мораль этого понятна. Учить надо всех, даже безнадежных, а выгонять можно (и нужно) лишь того, кто окончательно забил на учебу и разлагает всех остальных студентов, На матфаке, начиная с третьего курса, не выгоняют почти никого, но и попыток научить чему-то нижние 60% студентов не делается (а им и не нужно).

Таким образом, мы оказываемся перед противоречием. С одной стороны, программа первых двух курсов слишком трудна (причем жалуются на это в равной мере и слабые студенты, и сильные). С другой стороны, продвинутый студент, заканчивающий у нас второй курс, приобретает на порядок больше знаний в области core mathematics, чем непродвинутый, чем и закрепляется окончательно непреодолимая пропасть между глупыми и неглупыми сегментами.

Чтобы этого не случалось, программу матфака надо (а) радикально облегчить, убрав из нее все темы, требующие усидчивости, заучивания и бездумных вычислений, и максимально упростив все остальное и (б) приблизить к основам core mathematics, радикально (лет этак на 50) обновив материал.

К счастью, решение второй задачи является решением первой: апгрейд на 50 лет, необходимый для приближения программы к задачам core mathematics, радикально упростит подачу материала, а недотыкомочная архаика, которую необходимо выкинуть, является не только самой бессмысленной, но и самой трудоемкой частью программы. 

М.М. Зарічний

доктор фізико-математичних наук, професор кафедри геометрії і топології

Сайт: www.franko.lviv.ua/faculty/mechmat/Departments/Topology/zarichnyi.html
  • Коментарі не знайдено

Залиште свій коментар

Post comment as a guest

0
«
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
  • 14
  • 15
  • 16
  • 17
  • 18
  • 19
  • 20
»

Наші контакти


Ідея, веб-дизайн і т.д.:

Олег Романів
oromaniv at franko.lviv.ua