Menu

Лінійна алгебра та аналітична геометрія. 2 семестр

Для студентів  групи МТА-11 механіко-математичного факультету Львівського національного університету імені Івана Франка

Лекції та практичні завдання з курсу лінійної алгебра (другий семестр) наведено у підручнику Романів О.М. Лінійна алгебра. Частина 2.

Лінійна алгебра. Теорія

  • Тема 1. Властивості лінійних просторів.  Підпростори. Фактор-простори. Лінійна залежність та незалежність векторів. Леми про лінійну залежність. Бази. Координати. Теореми про бази. Вимірність лінійних просторів
  • Тема 2. Матриця переходу від однієї бази до іншої. Зв'язок координат того самого вектора у різних базах. Бази нескінченновимірних просторів. Сума та перетин підпросторів. Лінійно незалежні підпростори
  • Тема 3. Пряма сума підпросторів. Зовнішня пряма сума. Проекція вектора. Ізоморфізм лінійних просторів.
    Лінійні відображення. Лінійні оператори. Матриця лінійного оператора. Зв'язок між координатами вектора та його образу.
  • Тема 4. Зв'язок між матрицями того самого оператора в різних базах. Простір лінійних операторів. Алгебра лінійних операторів. Ядро та образ лінійного оператора.
  • Тема 5. Інваріанти лінійних операторів. Невироджені та обернені оператори. Інваріантні підпростори. Фактор-оператори.
  • Тема 6. Власні значення та власні вектори. Зведення матриці оператора до діагонального вигляду. Жорданова форма матриць
  • Колоквіум №1. Лінійні простори. Лінійні оператори
  • Тема 7. Евклідові та унітарні (ермітові) простори. Нерівність Коші-Буняковського. Норма вектора. Ортогональні вектори. Теорема про ортогоналізацію. Ортогональні бази
  • Тема 8. Ортонормування. Ортонормовані бази. Ортогональне доповнення. Ортогональна проекція. Ізоморфізми евклідових та унітарних просторів
  • Тема 9. Ортогональні та унітарні оператори. Ортогональні та унітарні матриці. Матриці ортогональних та унітарних операторів
  • Тема 10. Спряжені оператори. Самоспряжені оператори. Нормальні оператори. Канонічний вигляд ортогональних матриць
  • Тема 11. Лінійні форми. Простір лінійних форм. Спряжені (дуальні) бази. Ізоморфізм лінійного та спряженого до нього просторів
  • Тема 12. Білінійні форми. Матриці білінійних форм. Симетричні білінійні форми. Квадратичні форми. Матриця та ранг квадратичної форми
  • Тема 13. Канонічний вигляд квадратичних форм. Зведення квадратичних форм до головних осей. Метод Лагранжа. Нормальний вигляд квадратичних форм
  • Тема 14. Закон інерції. Додатно та від'ємно визначені квадратичні форми. Критерій Сильвестра. Зведення до канонічного вигляду пари квадратичних форм
  • Колоквіум №2. Евклідові й унітарні простори. Оператори в евклідових й унітарних просторах. Лінійні, білінійні та квадратичні форми

Аналітична геметрія. Теорія

  • Векторна алгебра. Поняття вектора, лінійні операції над векторами. Ко­лі­неарність та компланарність векторів. Базис на площині та у просторі. Розклад век­то­ра по базі. Координати вектора. Властивості координат. Скалярний добуток векторів. Властивості, координатний запис. Про­ек­ція век­тора на вісь та площину. Перетворення координат.  Векторний та мішаний добуток векторів. Властивості.
  • Системи координат. Афінні систем координат. Полярна, циліндрична та сфе­рич­на системи ко­ор­динат. Формули переходу.
  • Прямі та площини. Пряма на площині. Всеможливі рівняння. Взаємне розміщення прямих. Пуч­ки прямих. Пряма в прямокутній системі координат. Нормальне рівняння, відстань від точки до прямої, півплощини, кут між прямими. Площина у просторі. Всеможливі рівняння. Взаємне розміщення пло­щин. Пу­чок площин. Площина в прямокутній системі координат. Нормальне рівняння, від­стань від точки до площини, півпростори, кут між площинами. Пряма у просторі. Всеможливі рівняння. Взаємне розміщення прямих у прос­торі. Відстань від точки до прямої у просторі, відстань між двома ми­мо­біжними прямими. Знаходження спільного перпендикуляра двох ми­мо­біж­них прямих.
  • Канонічні рівняння кривих II-го порядку. Еліпс, гіпербола, парабола. Директоріальна властивість еліпса і гіперболи. Полярний параметр. Рівняння еліпса, гіперболи і параболи в полярній сис­темі координат.
  • Загальна теорія кривих ІІ-го порядку. Загальне рівняння кривої другого порядку. Квадратичні форми. Мат­ри­ця квад­ратичної форми. Перетворення рівняння кривої при пе­ре­тво­рен­ні ко­ор­динат. Зведення загального рівняння кривої другого порядку до канонічного ви­ду. Визначення канонічного рівняння лінії другого порядку за ін­ва­рі­ан­та­ми. Центри кривої. Перетин ліній другого порядку з прямою. Асимптотичні напрямки. Асимп­тоти. Теореми єдиності для ліній другого порядку. Спряжені напрямки і спряжені діаметри ліній другого порядку. Головні діаметри і осі симетрії ліній другого порядку.
  • Поверхні ІІ-го порядку. Спеціальні класи поверхонь: поверхні обертання, циліндричні та ко­ніч­ні по­верхні. Їх задання в різних системах координат. Канонічні рівняння поверхонь другого порядку: еліпсоїди, гі­пер­бо­ло­ї­ди, па­раболоїди, циліндри. Перетин поверхні другого порядку з пло­щи­ною. Лінійчаті поверхні. Теорема про зведення загального рівняння поверхні ІІ-го порядку до ка­но­нічного виду. Зведення рівняння поверхні ІІ-го порядку до канонічного виду за до­по­мо­гою інваріантів.

Рекомендована література:

Додаткова література:

  • Апатенок Р.Ф. (ред.). Элементы линейной алгебры. Мн.: В. школа, 1977 (djvu, 1.94 M)
  • Артамонов В.А. Лекции по алгебре. М.: МГУ (djvu, 333 K)
  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. М.: Мир, 1972 (djvu, 1.72 M)
  • Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Мир, 1969 (djvu, 4.55 M)
  • Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. М.: Мир, 1976 (djvu, 3.95 M)
  • Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я. Симметрия в алгебре. М.: Наука, 1967 (pdf, 1.06 M)
  • Борель А. Линейные алгебраические группы. М.: Мир, 1972 (djvu, 5.20 M)
  • Бохер М. Введение высшую алгебру. М.-Л.: ГТТИ, 1933 (djvu, 11 M)
  • Бурбаки Н. Алгебра. Часть 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра. М.: ГИФМЛ, 1962 (djvu, 8.54 M)
  • Бурбаки Н. Алгебра. Часть 3. Модули, кольца, формы. М.: Наука, 1966 (djvu, 8.20 M)
  • Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. М.: Мир, 1971 (djvu, 8.97 M)
  • Бурбаки Н. Начала математики. Часть 1. Основные структуры анализа. Книга 1. Теория множеств. М.: Мир, 1965 (djvu, 4.74 M)
  • Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. М.: ИЛ, 1955 (djvu, 5.94 M)
  • Вейль Г. Классические группы их инварианты и представления. М.: ИЛ, 1947 (djvu, 4.25 M)
  • Гантмахер Ф.Р. Теория матриц (2-е изд.). М.: Наука, 1966 (djvu, 7.50 M)
  • Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре (4-е изд.). М.: Наука, 1971 (djvu, 1.96 M)
  • Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ в задачах. М.: Наука, 1969 (djvu, 3.76 M)
  • Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, том 1. М.: ИЛ, 1963 (djvu, 4.52 M)
  • Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, том 2. М.: ИЛ, 1963 (djvu, 5.80 M)
  • Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. М.: Наука, 1973 (djvu, 6.26 M)
  • Курош А.Г. Курс высшей алгебры (9-е изд.). М.: Наука, 1968 (djvu, 5.89 M)
  • Курош А.Г. Лекции по общей алгебре (2-е изд.) М.: Наука, 1973 (djvu, 5.16 M)
  • Курош А.Г. Общая алгебра (лекции). М.: МГУ, 1970 (djvu, 3.56 M)
  • Курош А.Г. Теория групп. (3-е изд.). М.: Наука, 1967 (djvu, 6.73 M)
  • Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1973 (djvu, 3.24 M)
  • Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968 (djvu, 9.09 M)
  • Мейрембеков К.А. Интерактивные тесты по алгебре. Алматы: КазНУ, 2007 (pdf, 3.25 M)
  • Мейрембеков К.А. Интерактивный электронный учебник. Алгебра-1. Алматы: КазНУ, 2007 (pdf, 3.63 M)
  • Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры (6-е изд.). М.: Высш. шк., 1962 (djvu, 8.02 M)
  • Серр Ж.-П. Курс арифметики. М.: Мир, 1972 (djvu, 2.28 M)
  • Скорняков Л.А. Элементы теории структур. М.: Наука, 1970 (djvu, 1.69 M)
  • Супруненко Д.А. Группы матриц. М.: Наука, 1972 (djvu, 5.03 M)
  • Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970 (djvu, 7.56 M)
  • Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре (10-е изд.). М.: Наука, 1972 (djvu, 2.84 M)
  • Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977 (djvu, 3.67 M)
  • Феферман С. Числовые системы: Основания алгебры и анализа. М.: Наука, 1971 (djvu, 5.70 M)
  • Шарипов Р.А. Курс линейной алгебры и многомерной геометрии. Уфа: БашГУ, 1996 (pdf, 746 K)
  • Шилов Г.Е. Математический анализ: Конечномерные линейные пространства. М.: Наука, 1969 (djvu, 7.32 M)
  • Адамар Ж. Неевклидова геометрия в теории автоморфных функций. М.-Л.: ГИТТЛ, 1951 (djvu, 2.28 M)Александров А.Д. Выпуклые многогранники. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950 (djvu, 12 M)
  • Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, 1968 (djvu, 10 M)
  • Гриффитс Ф., Кинг Дж. Теория Неванлинны и голоморфные отображения алгебраических многообразий. (Математика. Новое в зарубежной науке 1). М.: Мир, 1976 (djvu, 1.04 M)
  • Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М.: Мир, 1971 (djvu, 2.76 M)
  • Дьедонне Ж., Керрол Дж., Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариантов. М.: Мир, 1974 (djvu, 3.56 M)
  • Ефимов Н.В. Высшая геометрия (5-е изд.). М.: Наука, 1971 (djvu, 5.50 M)
  • Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии (10-е изд.). М.: Наука, 1967 (djvu, 1.97 M)
  • Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления (9-е изд.). М.: Наука, 1965 (djvu, 6.21 M)
  • Кра И. Автоморфные формы и клейновы группы. М.: Мир, 1975 (djvu, 2.95 M)
  • Любарский М.Г. Векторная алгебра и ее приложения. Web, 2010. Детальная информация о книге (pdf, 3.86 M)
  • Майоров В.М., Скопец З.А. Задачник-практикум по векторной алгебре. М.: Учедпедгиз, 1961 (djvu, 3.55 M)
  • Мамфорд Д. Лекции о кривых на алгебраической поверхности. М.: Мир, 1968 (djvu, 2.10 M)
  • Манин Ю.И. Лекции по алгебраической геометрии. Часть 1. Аффинные схемы. М.: МГУ, 1970 (djvu, 4.45 M)
  • Манин Ю.И. Лекции по алгебраической геометрии. Часть 2. К-функтор в алгебраической геометрии. М.: МГУ, 1971 (djvu, 1.37 M)
  • Матвеев С.В. Пособие по векторной алгебре. ЧелГУ (pdf, 297 K)
  • Моденов П.С. Аналитическая геометрия. М.: МГУ, 1967 (djvu, 10 M)
  • Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1976 (djvu, 4.53 M)
  • Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии (4-е изд.). М.: Высш. шк., 1967 (djvu, 7.49 M)
  • Постников М.М. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1973 (djvu, 8.78 M)
  • Серр Ж.-П. Абелевы l-адические представления и эллиптические кривые. М.: Мир, 1973 (djvu, 2.21 M)
  • Троицкий Е.В. Аналитическая геометрия. М.: МГУ, 1999 (pdf, 800 K)
  • Уокер Р. Алгебраические кривые. М.: ИЛ, 1952 (djvu, 3.36 M)
  • Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. Том 1. М.: ИЛ, 1954 (djvu, 4.65 M)
  • Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. Том 2. М.: ИЛ, 1954 (djvu, 4.85 M)
  • Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. Том 3. М.: ИЛ, 1955 (djvu, 4.18 M)

Коментарі (0)

Rated 0 out of 5 based on 0 voters
There are no comments posted here yet

Залиште свій коментар

Posting comment as a guest. Sign up or login to your account.
Вкладення (0 / 3)
Share Your Location
вгору

Університет

Математика

Освіта

Наші контакти


Ідея, веб-дизайн і т.д.:

Олег Романів
oromaniv at franko.lviv.ua