Menu

Лінійні групи над кільцями. 10 семестр

Для студентів п'ятого курсу механіко-математичного факультету Львівського національного університету імені Івана Франка

Зміст дисципліни

Розділ 1. Підгрупи повної лінійної групи

Повна лінійна група. Нормальна будова повної лінійної групи. Основні поняття і дії над матричними групами. Цілком звідні групи. Теореми про скінченність. Теорема Кліффорда. Трикутна і унітрикутна групи. Примітивні розв'язні групи.

Розділ 2. Силовські р-підгрупи симетричної групи

Відомовсті з теорії зображень груп. Силовські р-підрупи групи GL(n,T). Загальні відомості. Деякі леми. Примітивні зображення деяких р-груп. Силовські р-підгрупи гупи GL(n,T) (p>2 або p=2 і √-1∈T). Силовські 2-підгрупи гупи GL(n,T) (charT>2). Силовські 2-підгрупи гупи GL(n,T) (charT=0).

Розділ 3. Лінійні групи над кільцями

Групи GL(n,Z), SL(n,Z). Гомоморфізм Мінковського. Нормальні підгрупи групи GL(n,Z). Силовські підгрупи групи GL(n,Z). Силовські р-підгрупи повної лінійної групи над комутативним кільцем характеристики ps.

Вступ

В першому розділі розглядаються групи матриць над полями. Вивчається нормальна будова групи GL(n,T) (T - тіло), викладено результати Дж. Діксона  і В.П. Платонова про умови цілковитої звідності матричних груп, теорема Бернсайда про скінченність матричної групи, теорема Шура про локальну скінченність періодичної матричної групи, теорема Кліффорда про нормальні підгрупи матричної групи, теорема Супруненка про примітивні розв'язні матричні групи, теорема Колчіна, Мальцева про розв'язні групи матриць над алгебрично замкненим полем. Зауважимо, що матеріал цього розділу тісно пов'язаний з відповідним матеріалом книги Д.О. Супруненка "Групи матриць".

В другому розділі викладено теорію силовських р-підгруп повної лінійної групи GL(n,T) над полем T, яка грунтується на теорії зображень скінченних груп над полями. У випадку алгебрично замкненого поля T, charT≠p, силовські р-підгрупи в GL(n,T) вивчав Д.О. Супруненко.

В третьому розділі розглянуто результати Г. Мінковського про періодичні підгрупи групи GL(n,Z), викладено теорію І. Менніке конгруенц-підгруп групи GL(n,Z).

Результати навчання:

знати:
поняття повної лінійної групи та її підгруп, нормальну будову повної лінійної групи, основні поняття та дії над матричними групами, теореми про скінченність, теорему Кліффорда, трикутні та унітрикутні групи; силовські підгрупи повної лінійної групи над полем та кільцем цілих чисел, нормальну форму Брюа, визначник Д’єдонне, основні розклади та типи матриць у кватерніонних просторах;

вміти:
виконувати елементарні перетворення матриць над тілами і кільцями та з їх допомогою зводити матриці до діагонального вигляду та форми Брюа, обчислювати визначник Д’єдонне; описувати нормальні і силовські підгрупи повної лінійної групи; будувати розклади Шура кватерніоних матриць.

Анотація навчальної дисципліни.

Метою навчальної дисципліни “Лінійні групи над кільцями” є оволодіння основними поняттями теорії лінійних груп, вивчення структури повної лінійної групи та її силовських і нормальних підгруп, з допомогою різних типів перетворень будувати відповідні форми матриць, застосувати отримані знання до задач інших галузей математики.

Завдання дисципліни:

поглибити алгебраїчну підготовку студентів, одержану в процесі вивчення базових нормативних курсів “Лінійна алгебра”, “Алгебра”, “Алгебра і теорія чисел” шляхом введення поняття повної лінійної групи, її нормальної будови, основних форм матриць, визначника Д’єдонне, кватерніонних просторів, чим збагачують світогляд математичного мислення студента. Все це зміцнює фундамент математичної підготовки взагалі і зокрема в процесі спеціалізації ”Алгебра і теорія чисел”.

Рекомендована література:

  1. Супруненко Д.А. Группы матриц \\ М.: Наука, 1972.
  2. Гудивок П. М., Рудько В. П., Тилищак О. А., Юрченко Н. В. Лінійні групи \\ - Ужгород: , 2011. - 84 с
  3. Вавилов Н. А., Степанов А. В., Линейные группы над общими кольцами. \\ - Зап. научн. сем. ЛОМИ, 2011, том 394, 33–139.
  4. Прасолов В. В., Задачи и теоремы линейной алгебры \\ - М.: 2008.
  5. Дрозд Ю.А. Кириченко В.В., Конечномерные алгебры \\ - Киев: Вища школа, 1980.
  6. Mennice I. Finite factor groups of the unimodular group \\ Ann. of Math.  1965, 81, 1, -P. 31-37.

Додаткова література

  • Коментарі не знайдено

Залиште свій коментар

Post comment as a guest

0
вгору

Університет

Математика

Освіта

Наші контакти


Ідея, веб-дизайн і т.д.:

Олег Романів
oromaniv at franko.lviv.ua