Menu

Основи алгебраїчної К-теорії

Для студентів механіко-математичного факультету Львівського національного університету імені Івана Франка

Програма навчальної дисципліни

«Основи алгебраїчної К-теорії»

викладач: проф. Забавський Б. В.

План лекційного курсу

 Заняття 1 (4 вересня)

1. Базові поняття теорії модулів: модуль, підмодуль, фактор-модуль. Означення, властивості, приклади.

Заняття 2 (18 вересня)

2. Основні операції над модулями: сума та перетин підмодулів, добуток підмодуля на ідеал кільця.

3. Гомоморфізми модулів. Ядро, коядро, образ, кообраз гомоморфізму.

4. Теореми Еммі Нетер про ізоморфізми модулів. Теореми про відповідність.

5. Породжуюча множина. Скінчено-породжені та циклічні модулі. Вільні модулі. Продовження функції за лінійністю.

Заняття 3 (25 вересня)

6. Прямі суми та добутки модулів. Зовнішня та внутрішня пряма сума модулів, їх еквівалентність.

7. Прямі доданки. Неоднозначність доповнення. Ретракції.

8. Прості модулі та підмодулі. Цоколь модуля. Лема Шура.

9. Максимальні підмодулі. Радикал Джекобсона кільця і модуля. Локальні кільця.

10. Лема Накаями та наслідки з неї.

11. Точні послідовності. Приклади та властивості. Розщеплення точних послідовностей.

12. Комутативні діаграми. Діаграмний пошук. Лема про 5 гомоморфізмів. 3х3 лема. Лема про змію.

13. Hom - множина, група, модуль. Індуковані відображення. Взаємодія із точними послідовностями, прямими сумами та добутками модулів.

Заняття 4 (2 жовтня)

14. Тензорний добуток модулів: конструкція, існування та універсальність.

15. Бімодуль. Розширення скалярів. Гомоморфізми бімодуля в модуль.

16. Властивості тензорного добутку.: комутативність, асоціативність, точність, збереження прямих сум.

17. Теореми про спряженість.

Заняття 5 (9 жовтня)

18. Поняття про категорії та функтори. Зображувані функтори. Лема Йонеди.

19. Властивості  Hom та  на мові теорії категорій.

20. Проективні модулі. Критерій проективності. Скінчено-зображувані модулі. Лема Шанюеля.

21. Ін’єктивні модулі. Критерій ін’єктивності. Критерій Бера. Подільні модулі. Ін’єктивна оболонка модуля.

22. Плоскі модулі. Критерій плоскості. Модуль характерів.

Заняття 6 (19 жовтня)

Характеризація кілець за допомогою модулів над ними

23. Нетерові кільця. Когерентні кільця.

24. Класично напівпрості модулі та кільця. Теорема Веддербарна-Артіна. Регулярні (в сенсі фон Неймана) кільця.

25. Спадкові кільця. Області Дедекінда.

26. Напівспадкові кільця. Області Прюфера. Модулі без кручення.

Заняття 7 (23 жовтня)

27. Квазіфробеніусові кільця. Артінові кільця.

28. Досконалі та напівдосконалі кільця.

29. Проблема Серра. Теорема Квіллена-Сусліна.

Заняття 8 (30 жовтня)

30. Локалізація в комутативних кільцях. Структура ідеалів локалізованого кільця.

31. Локалізації модулів та її властивості.

32. Спектр комутативного кільця. Топологія Зариського.

Заняття 9 (6 листопада)

33. Симетричні, кососиметричні та альтернуючі функції. Приклади.

34. Зовнішній степінь модуля та гомоморфізму. Твірні зовнішніх степенів скінченно породжених та вільних модулів.

Заняття 10 (9 листопада)

35. Визначники та лінійна залежність в термінах зовнішніх степенів.

36. Зовнішній добуток та зовнішня алгебра модуля.

37. Розширення скалярів у зовнішньому степені.

38. Характеристичний многочлен. Теорема Гамільтона-Келі.

39. Дуальний модуль і його властивості. Зв'язок із дробовими ідеалами.

40. Транспонування та дуалізація гомоморфізмів.

41. Добуток, як узагальнення поняття скалярного добутку.

Заняття 11 (11 листопада)

42. Симплектична гомологія.

43. Сингулярна гомологія.

Заняття 12 (16 листопада)

44. Триангуляція. Приклади обчислення груп гомологій.

Заняття 13 (20 листопада)

45. Кільця Безу, Ерміта та кільця елементарних дільників. Взаємозв’язки між цими класами кілець.

46. Кільця стабільного рангу 1 та 2. Доповнення матриці до оборотної. Два критерії ермітовості комутативного кільця Безу.

47. Комплекси і резольвенти, їх приклади. Цикли і границі. Групи гомологій.

Заняття 14 (23 листопада)

48. Функторіальність гомології. З’єднуючі гомоморфізми і їх природність. Довга точна послідовність. Послідовність Майєра-В’єторіса.

49. Порівняння резольвент і лема про підкову. Аксіоми Ейленберга-Стінрода.

50. Лівий похідний функтор. Функтор Tor і його властивості. Аксіоми функтора Tor.

51. Правий похідний функтор коваріантного функтора. Коваріантний функтор Ext і його властивості. Аксіоми коваріантного функтора Ext.

Заняття 15 (27 листопада)

51. Правий похідний функтор контраваріантного функтора. Контраваріантний функтор Ext і його властивості. Аксіоми контраваріантного функтора Ext.

52. Властивості функторів Tor і Ext при різноманітних операціях.

53. Моріта еквівалентність. Властивості кілець і модулів, що зберігаються при Моріта еквівалентності.

54. Група Гротендіка: три способи побудови. Властивості групи Гротендіка. Приклади обчислень груп Гротендіка різних класів кілець.

55. Властивість інваріантного базисного числа. Стабільно вільні модулі і унімодулярні

рядки.

56. Стабільний ранг кільця та його властивості. Теорема Басса про стабільно вільні проективні модулі.

Заняття 16 (30 листопада)

57. Ранг проективного модуля, та його властивості. Функція рангу. По-компонентно вільні модулі.

Заняття 17 (7 грудня)

58. Лінійне алгебраїчне розшарування. Векторне розшарування. Лінійне розшарування визначником. Теорема Свона.

59. Група Пікара і її властивості. Група Пікара у випадку областей.

60. Слід Хатторі-Сталлінгса. Визначник і ранг проективного модуля.

61. Група Уайтхеда. Елементарні матриці. Повна і спеціальна лінійні групи. Елементарна група. Лема Уайтхеда.

62. Нормальність елементарних груп. Символи Менніке, та їх зв'язок із стабільним рангом.

Заняття 18 (11 грудня)

63. Надбудова кільця. Основні теореми груп Гротендіка та Уайтхеда.

64. Група Стейнберга. Група Мілнора та її властивості. Теорема Мацумото.

Заняття 9 (14 грудня)

Практичне заняття із розв’язуванням різноманітних прикладів.

Література.

1. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. – М.: Мир, 1972. — 160 с.
2. Милнор Дж. Введение в алгебраическую K-теорию. М.: Мир, 1974.
3. Rotman J. An introduction to homological algebra. Academic Press, 2008. P.710.
4. Weibel C. The K-book: an introduction to algebraic K-theory. Graduate Studies in Math., AMS., 2013 - v145. - P.568.
5. Zabavsky B. V. Diagonal reduction of matrices over rings, Mathematical Studies, Monograph Series. VNTL Publishers. - 2012. - 16. - P.249.

 
  • Коментарі не знайдено

Залиште свій коментар

Post comment as a guest

0
вгору

Університет

Математика

Освіта

Наші контакти


Ідея, веб-дизайн і т.д.:

Олег Романів
oromaniv at franko.lviv.ua