Блукання в інтернетрях, крім очевидних мінусів, має також і плюси - іноді вдається натрапити на щось справді цікаве. Для прикладу, розглянемо добре відомий факт ірраціональності числа √2. Мабуть, кожен пам'ятає шкільне доведення. А ось доведення, що базується на зовсім іншій ідеї.
Припустимо, що √2=p/q, де p, q − натуральні числа. Позначимо через k найменше з таких q, що q√2 − натуральне число.
Тоді
k(√2 - 1)√2 = 2k - k√2
− теж натуральне число. Оскільки k(√2-1) − натуральне число і k(√2-1)<k, то одержуємо суперечність з вибором k.
Тепер розглянемо випадок, коли n>2. Застосуємо до доведення ірраціональності кореня n-го степеня з двійки Велику Теорему Ферма, яку довів сер Ендрю Вайлс. Нагадаємо: ця теорема стверджує, що при n>2 рівняння
xn + yn = zn
не має розв'язків у натуральних числах.
Припустимо, що корінь n-го степеня з 2 дорівнює p/q, де p, q − натуральні числа. Тоді 2qn = qn + qn = pn, а це суперечить Великій Теоремі Ферма.
Зрозуміло, що це друге доведення є нічим іншим як прикладом забивання цвяхів мікроскопом.