Для студентів групи МТА-11 механіко-математичного факультету Львівського національного університету імені Івана Франка
Лекції та практичні завдання з курсу лінійної алгебра (другий семестр) наведено у підручнику Романів О.М. Лінійна алгебра. Частина 2.
Лінійна алгебра. Теорія
- Тема 1. Властивості лінійних просторів. Підпростори. Фактор-простори. Лінійна залежність та незалежність векторів. Леми про лінійну залежність. Бази. Координати. Теореми про бази. Вимірність лінійних просторів
- Тема 2. Матриця переходу від однієї бази до іншої. Зв'язок координат того самого вектора у різних базах. Бази нескінченновимірних просторів. Сума та перетин підпросторів. Лінійно незалежні підпростори
- Тема 3. Пряма сума підпросторів. Зовнішня пряма сума. Проекція вектора. Ізоморфізм лінійних просторів.
Лінійні відображення. Лінійні оператори. Матриця лінійного оператора. Зв'язок між координатами вектора та його образу. - Тема 4. Зв'язок між матрицями того самого оператора в різних базах. Простір лінійних операторів. Алгебра лінійних операторів. Ядро та образ лінійного оператора.
- Тема 5. Інваріанти лінійних операторів. Невироджені та обернені оператори. Інваріантні підпростори. Фактор-оператори.
- Тема 6. Власні значення та власні вектори. Зведення матриці оператора до діагонального вигляду. Жорданова форма матриць
- Колоквіум №1. Лінійні простори. Лінійні оператори
- Тема 7. Евклідові та унітарні (ермітові) простори. Нерівність Коші-Буняковського. Норма вектора. Ортогональні вектори. Теорема про ортогоналізацію. Ортогональні бази
- Тема 8. Ортонормування. Ортонормовані бази. Ортогональне доповнення. Ортогональна проекція. Ізоморфізми евклідових та унітарних просторів
- Тема 9. Ортогональні та унітарні оператори. Ортогональні та унітарні матриці. Матриці ортогональних та унітарних операторів
- Тема 10. Спряжені оператори. Самоспряжені оператори. Нормальні оператори. Канонічний вигляд ортогональних матриць
- Тема 11. Лінійні форми. Простір лінійних форм. Спряжені (дуальні) бази. Ізоморфізм лінійного та спряженого до нього просторів
- Тема 12. Білінійні форми. Матриці білінійних форм. Симетричні білінійні форми. Квадратичні форми. Матриця та ранг квадратичної форми
- Тема 13. Канонічний вигляд квадратичних форм. Зведення квадратичних форм до головних осей. Метод Лагранжа. Нормальний вигляд квадратичних форм
- Тема 14. Закон інерції. Додатно та від'ємно визначені квадратичні форми. Критерій Сильвестра. Зведення до канонічного вигляду пари квадратичних форм
- Колоквіум №2. Евклідові й унітарні простори. Оператори в евклідових й унітарних просторах. Лінійні, білінійні та квадратичні форми
Аналітична геметрія. Теорія
- Колоквіум №2. Аналітична геметрія
- Векторна алгебра. Поняття вектора, лінійні операції над векторами. Колінеарність та компланарність векторів. Базис на площині та у просторі. Розклад вектора по базі. Координати вектора. Властивості координат. Скалярний добуток векторів. Властивості, координатний запис. Проекція вектора на вісь та площину. Перетворення координат. Векторний та мішаний добуток векторів. Властивості.
- Системи координат. Афінні систем координат. Полярна, циліндрична та сферична системи координат. Формули переходу.
- Прямі та площини. Пряма на площині. Всеможливі рівняння. Взаємне розміщення прямих. Пучки прямих. Пряма в прямокутній системі координат. Нормальне рівняння, відстань від точки до прямої, півплощини, кут між прямими. Площина у просторі. Всеможливі рівняння. Взаємне розміщення площин. Пучок площин. Площина в прямокутній системі координат. Нормальне рівняння, відстань від точки до площини, півпростори, кут між площинами. Пряма у просторі. Всеможливі рівняння. Взаємне розміщення прямих у просторі. Відстань від точки до прямої у просторі, відстань між двома мимобіжними прямими. Знаходження спільного перпендикуляра двох мимобіжних прямих.
- Канонічні рівняння кривих II-го порядку. Еліпс, гіпербола, парабола. Директоріальна властивість еліпса і гіперболи. Полярний параметр. Рівняння еліпса, гіперболи і параболи в полярній системі координат.
- Загальна теорія кривих ІІ-го порядку. Загальне рівняння кривої другого порядку. Квадратичні форми. Матриця квадратичної форми. Перетворення рівняння кривої при перетворенні координат. Зведення загального рівняння кривої другого порядку до канонічного виду. Визначення канонічного рівняння лінії другого порядку за інваріантами. Центри кривої. Перетин ліній другого порядку з прямою. Асимптотичні напрямки. Асимптоти. Теореми єдиності для ліній другого порядку. Спряжені напрямки і спряжені діаметри ліній другого порядку. Головні діаметри і осі симетрії ліній другого порядку.
- Поверхні ІІ-го порядку. Спеціальні класи поверхонь: поверхні обертання, циліндричні та конічні поверхні. Їх задання в різних системах координат. Канонічні рівняння поверхонь другого порядку: еліпсоїди, гіперболоїди, параболоїди, циліндри. Перетин поверхні другого порядку з площиною. Лінійчаті поверхні. Теорема про зведення загального рівняння поверхні ІІ-го порядку до канонічного виду. Зведення рівняння поверхні ІІ-го порядку до канонічного виду за допомогою інваріантів.
Рекомендована література:
- Т. Банах, Б. Бокало, Ю. Іщук, Х. Трущак, Збірник задач з аналітичної геометрії, Львів: ЛНУ. 2003.
- Яременко Ю.В., Лутченко Л.І. Аналітична геометрія. ч.2. Навчально-методичний посібник / – Кіровоград: “Антураж А”, 2005. – 116с.
- О.А. Борисенко О.А. Аналітична геометрія.
- Кадубовський О.А., Кадубовська О.Л., Плесканьова Л.Г. Аналітична геометрія. Частина І: Елементи векторної алгебри. Метод координат на площині та в просторі: Навчальний посібник – Видання 2-е, виправлене та доповнене. – Слов’янськ, 2010. – 84с.
- Т.М. Кадильникова,І.Б. Кочеткова, Л.Ф. Сушко, О.В. Білова. Аналітична геометрія у просторі: Навч. посібник – Дніпропетровськ: НМетАУ, 2012. – 48с.
- Зайцева Л.Л., Нетреба А.В. Збiрник задач з аналiтичної геометрiї. – К.: Видавничо–полiграфiчний центр “Київський унiверситет”, 2008. – 200 с.
- Ординська З.П., Орловський I.В., Руновська М.К. Конспект лекцій з аналітичної геметрії та лінійної алгебри – К.: Нацiональний технiчний унiверситет України “Київський полiтехнiчний iнститут”, 2014.
- Андрійчук В.І., Забавський Б.В. Алгебра і теорія чисел // -Львів. -2005.
- Андрійчук В.І., Забавський Б.В. Лінійна алгебра // -Львів. -2008.
- Андрійчук В.І., Забавський Б.В. Загальна алгебра // -Львів. -2009.
- Сборник задач по алгебре. Под редакцией А.И. Кострикина // М.: физ-мат литература. -2001. 464 с. (рос.)
- Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре (издание третье) (рос.)
- Фаддеев Д.К. Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре (издание Изд. 10-е.) (рос.)
- Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А. Линейная алгебра в вопросах и задачах (рос.)
- Апатенок Р. Ф., Маркина А. М., Хейнман В. Б. Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии(рос.)
Додаткова література:
- Апатенок Р.Ф. (ред.). Элементы линейной алгебры. Мн.: В. школа, 1977 (djvu, 1.94 M)
- Артамонов В.А. Лекции по алгебре. М.: МГУ (djvu, 333 K)
- Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. М.: Мир, 1972 (djvu, 1.72 M)
- Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Мир, 1969 (djvu, 4.55 M)
- Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. М.: Мир, 1976 (djvu, 3.95 M)
- Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я. Симметрия в алгебре. М.: Наука, 1967 (pdf, 1.06 M)
- Борель А. Линейные алгебраические группы. М.: Мир, 1972 (djvu, 5.20 M)
- Бохер М. Введение высшую алгебру. М.-Л.: ГТТИ, 1933 (djvu, 11 M)
- Бурбаки Н. Алгебра. Часть 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра. М.: ГИФМЛ, 1962 (djvu, 8.54 M)
- Бурбаки Н. Алгебра. Часть 3. Модули, кольца, формы. М.: Наука, 1966 (djvu, 8.20 M)
- Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. М.: Мир, 1971 (djvu, 8.97 M)
- Бурбаки Н. Начала математики. Часть 1. Основные структуры анализа. Книга 1. Теория множеств. М.: Мир, 1965 (djvu, 4.74 M)
- Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. М.: ИЛ, 1955 (djvu, 5.94 M)
- Вейль Г. Классические группы их инварианты и представления. М.: ИЛ, 1947 (djvu, 4.25 M)
- Гантмахер Ф.Р. Теория матриц (2-е изд.). М.: Наука, 1966 (djvu, 7.50 M)
- Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре (4-е изд.). М.: Наука, 1971 (djvu, 1.96 M)
- Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ в задачах. М.: Наука, 1969 (djvu, 3.76 M)
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, том 1. М.: ИЛ, 1963 (djvu, 4.52 M)
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, том 2. М.: ИЛ, 1963 (djvu, 5.80 M)
- Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. М.: Наука, 1973 (djvu, 6.26 M)
- Курош А.Г. Курс высшей алгебры (9-е изд.). М.: Наука, 1968 (djvu, 5.89 M)
- Курош А.Г. Лекции по общей алгебре (2-е изд.) М.: Наука, 1973 (djvu, 5.16 M)
- Курош А.Г. Общая алгебра (лекции). М.: МГУ, 1970 (djvu, 3.56 M)
- Курош А.Г. Теория групп. (3-е изд.). М.: Наука, 1967 (djvu, 6.73 M)
- Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1973 (djvu, 3.24 M)
- Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968 (djvu, 9.09 M)
- Мейрембеков К.А. Интерактивные тесты по алгебре. Алматы: КазНУ, 2007 (pdf, 3.25 M)
- Мейрембеков К.А. Интерактивный электронный учебник. Алгебра-1. Алматы: КазНУ, 2007 (pdf, 3.63 M)
- Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры (6-е изд.). М.: Высш. шк., 1962 (djvu, 8.02 M)
- Серр Ж.-П. Курс арифметики. М.: Мир, 1972 (djvu, 2.28 M)
- Скорняков Л.А. Элементы теории структур. М.: Наука, 1970 (djvu, 1.69 M)
- Супруненко Д.А. Группы матриц. М.: Наука, 1972 (djvu, 5.03 M)
- Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970 (djvu, 7.56 M)
- Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре (10-е изд.). М.: Наука, 1972 (djvu, 2.84 M)
- Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977 (djvu, 3.67 M)
- Феферман С. Числовые системы: Основания алгебры и анализа. М.: Наука, 1971 (djvu, 5.70 M)
- Шарипов Р.А. Курс линейной алгебры и многомерной геометрии. Уфа: БашГУ, 1996 (pdf, 746 K)
- Шилов Г.Е. Математический анализ: Конечномерные линейные пространства. М.: Наука, 1969 (djvu, 7.32 M)
- Адамар Ж. Неевклидова геометрия в теории автоморфных функций. М.-Л.: ГИТТЛ, 1951 (djvu, 2.28 M)Александров А.Д. Выпуклые многогранники. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950 (djvu, 12 M)
- Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, 1968 (djvu, 10 M)
- Гриффитс Ф., Кинг Дж. Теория Неванлинны и голоморфные отображения алгебраических многообразий. (Математика. Новое в зарубежной науке 1). М.: Мир, 1976 (djvu, 1.04 M)
- Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М.: Мир, 1971 (djvu, 2.76 M)
- Дьедонне Ж., Керрол Дж., Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариантов. М.: Мир, 1974 (djvu, 3.56 M)
- Ефимов Н.В. Высшая геометрия (5-е изд.). М.: Наука, 1971 (djvu, 5.50 M)
- Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии (10-е изд.). М.: Наука, 1967 (djvu, 1.97 M)
- Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления (9-е изд.). М.: Наука, 1965 (djvu, 6.21 M)
- Кра И. Автоморфные формы и клейновы группы. М.: Мир, 1975 (djvu, 2.95 M)
- Любарский М.Г. Векторная алгебра и ее приложения. Web, 2010. (pdf, 3.86 M)
- Майоров В.М., Скопец З.А. Задачник-практикум по векторной алгебре. М.: Учедпедгиз, 1961 (djvu, 3.55 M)
- Мамфорд Д. Лекции о кривых на алгебраической поверхности. М.: Мир, 1968 (djvu, 2.10 M)
- Манин Ю.И. Лекции по алгебраической геометрии. Часть 1. Аффинные схемы. М.: МГУ, 1970 (djvu, 4.45 M)
- Манин Ю.И. Лекции по алгебраической геометрии. Часть 2. К-функтор в алгебраической геометрии. М.: МГУ, 1971 (djvu, 1.37 M)
- Матвеев С.В. Пособие по векторной алгебре. ЧелГУ (pdf, 297 K)
- Моденов П.С. Аналитическая геометрия. М.: МГУ, 1967 (djvu, 10 M)
- Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1976 (djvu, 4.53 M)
- Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии (4-е изд.). М.: Высш. шк., 1967 (djvu, 7.49 M)
- Постников М.М. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1973 (djvu, 8.78 M)
- Серр Ж.-П. Абелевы l-адические представления и эллиптические кривые. М.: Мир, 1973 (djvu, 2.21 M)
- Троицкий Е.В. Аналитическая геометрия. М.: МГУ, 1999 (pdf, 800 K)
- Уокер Р. Алгебраические кривые. М.: ИЛ, 1952 (djvu, 3.36 M)
- Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. Том 1. М.: ИЛ, 1954 (djvu, 4.65 M)
- Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. Том 2. М.: ИЛ, 1954 (djvu, 4.85 M)
- Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. Том 3. М.: ИЛ, 1955 (djvu, 4.18 M)